1.2 正弦型函数(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第1章 三角计算及其应用 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 1.2 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 1.3 正弦定理与余弦定理 1.4 生产、生活中的三角计算及 引 例 某市为了建设跨河大桥，需要测量河两岸两桥基A与B点的距离，测量人员在A点所在一侧选择C点，测得BC长为45 m，又测得∠BAC=45°，∠ACB=75° .根据以上的信息，如何求出A,B两点的距离. ， 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 我们已经学习了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，这类函数称为正弦型函数.它与正弦函数y=sin x有着密切的关系. 在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，则 y=Asin(ωx+φ)=Asin z. 我们已经知道正弦函数y=sin x 的定义域为R，周期为2π，值域为［－1,1］.因此函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的定义域为R，并且 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 y=Asin(ωx+φ)=Asin z=Asin(z+2π) =Asin［(ωx+φ)+2π］=Asin[ω (x+)+φ], 即Asin(ωx+φ)= Asin[ω (x+)+φ ](A>0,ω>0). 设f (x )=Asin(ωx+φ)，则f (x )=f (x+ ).因此，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)也是周期函数，其周期为T= . 由于正弦函数y=sin x 的值域为［－1,1］，所以y=Asin z(A>0)的值域为［－A,A］，即正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值为A，最小值为－A. 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 综上所述，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性质： （1）定义域为R； （2）周期为T= ； （3）值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A. 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 例1 求正弦型函数y=sin(2x+ )和y=sin(+的周期. 解 根据正弦型函数的周期公式T= ，可知y=sin (2x+)的周期为 T= = =π； y=sin (+的周期为 T= = =4π. 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 例2 求函数y=3sin(4x+ )的周期和最大值、最小值，并求在什么 情况下函数取得最大值和最小值. 解 根据正弦型函数的性质，我们可得函数y=3sin (4x+ )的周期为 T= = = . 设z=4x+ ，即x= － ，则 当z=2kπ+ (k∈Z),即x= + (k∈Z)时，函数y=3sin z有最大值，最大值为3； 当z=2kπ－(k∈Z),即x= －(k∈Z)时，函数y=3sin z有最小值，最小值为－3. 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 所以，当x=+ (k∈Z)时，函数y=3sin (4x+ )取得最大值3； 当x= － (k∈Z)时，函数y=3sin (4x+ )取得最小值－3. 一般地，研究函数y=a sin x+b cos x (a>0,b>0)时，首先要把函数转化为正弦型函数y=Asin(x+θ )的形式.如图1-2所示，考察以(a,b)为坐标的点P，设以OP为终边的角为θ，则 cos θ=,sin θ= ,tan θ=， 图1-2 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 于是 a sin x+b cos x= () = (cos θ sin x+sin θ cos x ) = sin(x+θ ), 即A= ，角θ 的值可以由 tan θ= 确定（角θ 所在的象限与点 P 所在的象限相同）. 1.2 正弦型函数 1.2.1正弦型函数的概念和性质 例3 求函数y=cos x+sin x 的最大值和最小值. 解 因为