1.3正弦定理与余弦定理(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第1章 三角计算及其应用 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 1.2 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 1.3 正弦定理与余弦定理 1.4 生产、生活中的三角计算及 引 例 某市为了建设跨河大桥，需要测量河两岸两桥基A与B点的距离，测量人员在A点所在一侧选择C点，测得BC长为45 m，又测得∠BAC=45°，∠ACB=75° .根据以上的信息，如何求出A,B两点的距离. ， 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 在直角三角形中，利用三角形内角和定理、勾股定理以及锐角的三角函数就可以由已知的边和角求出未知的边和角.但是，对于一般的三角形，我们该怎样求呢？ 如图1-8所示，在Rt△ABC中，BC=a ,AC=b ,AB=c ，由 sin A= ,sin B= ,sin C=1， 则得 c= ,c= ,c=， 所以 = = . 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 图1-8 根据直角三角形的面积公式得 =ab= ab sin C, 由= = 可得 = ac sin B= bc sin A. 那么，在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？ 如图1-9所示，在锐角三角形ABC中，作CD⊥AB于D，则CD=b sin A，CD=a sin B，于是b sin A=a sin B，即 = . 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 图1-9 同理得= ，因此 = = . 由于CD=b sin A=a sin B，所以 = ×AB×CD= bc sin A= ac sin B， 同理可得= ab sin C. 如图1-10所示，在钝角三角形ABC中，设C为钝角，作BD⊥AC于D，则BD=c sin A, BD=a sin(180°－C)=a sin C.同样可以得到 = = .. 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 图1-10 由于BD=c sin A=a sin C，所以 = ×AC×BD= bc sin A= ab sin C， 同理可得= ac sin B. 这就是说，对于任意一个三角形， = = 均成立，因此我们得到下面的正弦定理. 正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等，即 = = . （1-11） 同时，我们也得到了计算三角形面积的另一种表达形式： = bc sin A= ac sin B= ab sin C. （1-12） 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 例1 在△ABC中，已知b=14,∠A=30°,∠B=120°，求a. 解 根据正弦定理有= ，所以 a= ==. 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 例2 已知在△ABC中，∠A=30°,a=15,b=30，求∠B. 解 根据正弦定理有= ，所以 sin B= ==. 再由b>a 知∠B>∠A，故30°<∠B<180°，所以∠B=45°或∠B=135°. 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 例3 在△ABC中，已知∠B=60°,∠C=15°,a=+1，求b,c, 的值. 解 由三角形的内角和为180°可知∠A+∠B+∠C=180°，则 ∠A=180°－∠B－∠C=180°－60°－15°=105°. 根据正弦定理= = 可得 b== = ； c= = = 1， 所以三角形的面积为 = ac sin B= ×(+1)×(1)× = . 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 理论上正弦定理可以解决两类问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，先求另一边的对角，进而可求其他的边和角（在求另一边的对角时要讨论角的取值范围） 注意 1.3正弦定理与余弦定理 1.3.1正弦定理 做一做 1.已知在△ABC中，∠A=45°,∠B=30°,b=，求∠C的度数和 a 的值. 2