1.4三角计算及应用举例(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第1章 三角计算及其应用 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 1.2 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 1.3 正弦定理与余弦定理 1.4 生产、生活中的三角计算及 引 例 某市为了建设跨河大桥，需要测量河两岸两桥基A与B点的距离，测量人员在A点所在一侧选择C点，测得BC长为45 m，又测得∠BAC=45°，∠ACB=75° .根据以上的信息，如何求出A,B两点的距离. ， 1.4三角计算及应用举例 在前面的小节里，我们也简单介绍了一些三角计算的应用，下面我们一起来讨论三角计算在生产、生活中的更为广泛的应用. 例1 如图1-17所示，某地一天7~15时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωt+φ)+b. （1）求这段时间的最大温差； （2）求出这段曲线的函数表达式； （3）根据求出的函数表达式，计算该地在12时的温度（精确到0.1℃）. 1.4三角计算及应用举例 图1-17 解 根据图像，很容易知道A,ω 和b 的值，再根据图像经过的点，利用待定系数法可以求出φ 的值. （1）由图像可知，这段时间的最大温差为20℃. （2）根据图像可知，7~15时的图像是函数y=Asin(ωt+φ)+b 的半个周期，所以 T= × =15－7， 解得ω= . 1.4三角计算及应用举例 由（1）知，这段时间的最大温差为20℃，所以A=10，进而求得b=20.将t=7,y=10代入函数表达式y=Asin(ωt+φ)+b 中，得 10=10sin(×7+φ)+20， 解得φ= . 所以这段曲线的函数表达式为y=10sin(t+ )+20,t ∈［7,15］. （3）将t=12代入函数表达式y=10sin(t+ )+20，得 y=10sin +20≈23.83（℃）， 即该地在12时的温度约为23.83℃. 1.4三角计算及应用举例 现有宽分别为a,b 的两块木板，如图1-18所示，要对接成θ 的角，该怎样制作？ 过点A作∠CBD两边的垂线AC,AD，垂足分别为C,D.设∠ABD=x，则制作的关键是计算出x.只要计算出x，则∠ABC=θ－x.按照这两个角度，沿AB对接即可接成图中所示的θ 角. 现在我们讨论计算角 x 的方法. 图1-18 1.4三角计算及应用举例 在Rt△ABD和Rt△ACB中，设AB的长为m，则 msin x=a, msin(θ－x)=b, 于是 sin x=sin(θ－x)=sin θ cos x－cos θ sin x， 即sin x= cos x ，于是得 tan x= . （1-15） 特别地，当a=b时， 1.4三角计算及应用举例 tan x===tan ， 即 tan x=tan .（1-16） 由于0<x<θ<π，因此此时x= . 1.4三角计算及应用举例 例2 如图1-19所示，现有宽分别为20 cm和40 cm的两块木板，要对接成60°的角.应该怎样制作？ 图1-19 1.4三角计算及应用举例 解 将θ=60°,a=40,b=20代入式（1-15）得 tan x== = = ， 利用计算器可求得x=40.89°. 1.4三角计算及应用举例 在一个圆中作一条弦，由弦及其所对的弧组成的图形称为弓形.这段弧称为弓形的弧.垂直于弦的直径被弦分为两部分，分别为这两个弓形的高.如图1-20所示，上部为一个弓形，d 表示弓形所在的圆的直径，L表示弓形的弦长，h 表示弓形的高. 在Rt△ABC中，由勾股定理得 图1-20 1.4三角计算及应用举例 并且BC= ,AB= －h,AC= ，代入上式得 += ， 化简得 d=h+ . （1-17） 将式（1-17）变形得到 =4h(d－h)， 解得 L=2 ，