2.1 坐标轴的平移与旋转(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第2章 坐标变换与参数方程 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.2 参数方程 2.3 坐标变换与参数方程的应用 引 例 2008年5月12日四川省的汶川8.0级地震给汶川人民带来了巨大的灾难，在这次汶川地震的救援工作中，我们的空军部队以他们高超的飞行技术及时为被困的群众送去了救灾物资，让身处绝境的人民看到了希望。”如果一架救援飞机在离再去地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力）,飞行员应如何确定投放时机呢？ 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 在数控机床加工中，通常工件作旋转运动（主运动），而刀具与工件作相对运动（进给运动）.为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系.例如，圆心在(2,－1)，半径为1的圆在坐标系 的方程为 =1， 如图2-1所示.如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点O 移至点(2,－1)处，那么，对于新的坐标系，该圆的方程为 =1. 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 图2-1 像这样，只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换称为坐标轴的平移. 由一个坐标系到另一个坐标系的变换，会给点的坐标和曲线的方程带来哪些变化呢？下面我们研究坐标系平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子称为坐标轴的平移公式. 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 如图2-2所示，把原坐标系Oxy 平移至新的坐标系1， 在原坐标系中的坐标为(, ).设原坐标系Oxy的两个坐标轴的单位向量分别为i和j，因为坐标系的方向和单位长度都不变，所以新坐标系的单位向量也分别为i和j .设点P在原坐标系中的坐标为(x,y )，在新坐标系中的坐标为(, )，于是有 =xi+yj , = i+ j , = i+ j， 因为= + ，所以 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 xi+yj= i+ j+i+j， 即 xi+yj=(+ )i+(+ )j. 于是得到坐标轴平移的坐标变换公式 （2-1） （2-2） 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 式（2-1）与式（2-2）的区别是什么？使用这两个公式时要注意什么问题？ 想一想 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 图2-2 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 例1 平移坐标轴，将坐标原点移到(1,－2)，求下列各点的新坐标： O(0,0) ,A(2,4) ,B(－1,3) ,C(－2,－2) ,D(3,－1). 解 由坐标变换公式（2-2）得 将各点的原坐标分别代入上式，得到各点的新坐标分别为 O(－1,2) ,A(1,6) ,B(－2,5) ,C(－3,0) ,D(2,1). 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 例2 利用坐标轴的平移化简圆+4x－2y－4=0的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将圆方程的坐标配方，得 =9. 这是以点(-2,1)为圆心，3为半径的圆.平移坐标轴，使得新坐标轴的原点位于点(-2,1)，由坐标变换公式（2-1）得 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.1 坐标轴的平移 将上式代入圆的方程，得 =9. 这就是在新坐标系中圆的方程.新坐标系和圆的图像如图2-3所示. 图2-3 2.1 坐标轴的平移与旋转 坐标平移变换公式的两个主要应用是： （1）已知原坐标系内一点求它在新坐标系内的坐标；已知一点在新坐标系内的坐标求它在原坐标系内的坐标. （2）利用坐标平移变换公式化简曲线的方程. 注意 2.1.1 坐标轴的平移 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.1.2 坐标轴的旋转 做一做 1.平移坐标轴，把坐标原点O 移至(2,－3)，求下列各点的新坐标： A(3,1) ,B(－2,4) ,C(7,－2), D(1,0) ,E(－5,0) ,F(－3,7). 2.利用平移坐标轴，化简下列方程，指出新坐标系原点的坐标，并画出