2.2 参数方程(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第2章 坐标变换与参数方程 2.1 坐标轴的平移与旋转 2.2 参数方程 2.3 坐标变换与参数方程的应用 引 例 2008年5月12日四川省的汶川8.0级地震给汶川人民带来了巨大的灾难，在这次汶川地震的救援工作中，我们的空军部队以他们高超的飞行技术及时为被困的群众送去了救灾物资，让身处绝境的人民看到了希望。”如果一架救援飞机在离再去地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力）,飞行员应如何确定投放时机呢？ 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 如图2-5所示，质点M从点(2,0)出发，沿着与x 轴成30°的方向，以10 m/s的速度运动. 质点所做的运动是匀速直线运动，其运动的轨迹是经过点(2,0)，倾斜角为30°的直线（x 轴上方的部分），容易求得其方程为 x－3y－2 =0(x>2) 图2-5 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 但是，这个方程不能直接反映出运动轨迹与时间 t 的关系.为此，我们分别研究运动轨迹上的点M(x,y )的坐标与时间 t 的关系，得 即 时间 t 确定后，点M(x,y )的位置也就确定了. 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 因此，曲线上动点M(x,y )的坐标 x 和 y，可以分别表示为一个新变量t的函数，即 （2-5） 我们把方程（2-5）称为曲线的参数方程，变量t 称为参变量. 在用参数方程表示曲线时，方程中的参变量可以是有物理、几何意义的变量，也可以是没有明显意义的变量. 相对于参数方程来说，我们把前面学过的给出曲线上点的坐标之间直接关系的方程f (x,y )=0 称为曲线的普通方程. 建立曲线的参数方程，通常是把曲线看成是动点的轨迹，选取适当的参数t，将曲线上动点的坐标x,y 分别用含有参数t 的表达式来表示. 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 例1 求圆心在C(h,k )，半径为 r 的圆的参数方程. 解 如图2-6所示，平移坐标轴，将原点O移到点C(h,k ).设M为圆上任意一点，则在坐标系 , 中，点M的坐标分别为(x,y ) ,(, )，由坐标轴的平移公式可知 （1） 设∠M=θ，则有 （2） 将式（2）代入式（1），得 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 图2-6 上式则为圆心为C(h,k )，半径为 r 的圆的参数方程. 曲线参数方程 是通过参数t来间接表示 x 和 y 之间的关系的，如果从这两个方程中消去参数t，那么就可以得到直接表示 x 和 y 之间的关系的普通方程.在实际应用中，主要是将参数方程化为普通方程，其核心是消去参变量，常用的方法有加减消元法、代入消元法. 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 例2 化参数方程 为普通方程. 解 由x=2t 得t= ，将它代入到y= 得 y= . 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 例3 化参数方程 (a>0,b>0,且a≠b) 为普通方程，其中θ 为参数，并说明它表示的曲线. 解 由 得 则得 θ+ θ=+ =1， 化简得 + =1(a>0,b>0,且a≠b)， 显然这是一个椭圆方程. 2.2 参数方程 2.2.1 曲线的参数方程 例4 化参数方程 为普通方程. 解 由y=2t 得=2t，与方程x=2t+1两边对应相减得 －x=－1，即 x－y－=0. 显然这是一个直线方程.