3.1 复数的概念与几何表示(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第3章 复数及其应用 3.1 复数的概念与几何表示 3.2 复数的运算 3.3 复数的应用举例 引 例 16世纪意大利数学家杰罗拉莫•卡尔达诺出版了一本书名叫做《大术》（又译《数学大典》）的数学书，其中有这样一道数学题：devide 10 in duas partes, ex quarum unius in reliquam ducto, produatur 40“. 翻译过来就是：“有两个数，它们相加之和等于10，相乘之积等于40。这是两个什么数？” 3.1 复数的概念与几何表示 已知一元二次方程=－1在实数范围内无解.更一般地，当根的判别式Δ= －4ac<0时，一元二次方程a +b x+c=0（其中a,b,c为实数且a≠0）在实数范围内也无解. 为了解决上述问题，引进一个新数i，称为虚数单位，并规定数i有如下性质： （1） =－1； （2） i可以与实数进行四则运算，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 由性质（1）知，x=i 是方程=－1的一个解. 由性质（2）知 = = × =1×(－1)=－1， 故x=－i 也是方程=－1的一个解. 3.1.1 复数的概念 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 计算下列各式： （1） ；（2） . 做一做 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 根据数i 的性质，i 可以与实数b 相乘，由于满足乘法交换律，其乘积一般写成bi（规定0×i=0），再将bi 与实数a 相加，由于满足加法交换律，其和一般写成a+bi. 形如a+bi（a,b∈R ）的数称为复数，其中a 称为复数的实部，b 称为复数的虚部.复数一般用小写字母z,w,…来表示.例如，复数z=3－i的实部为3，虚部为－1. 当虚部b=0时，复数a+bi=a 就是实数；当虚部b≠0 时，复数a+bi 称为虚数，特别地，a=0时虚数bi 称为纯虚数.例如，3+4i ,－i ,2 ,－3i 都是复数，其中2是实数，3+4i , －i ,－3i 是虚数，－3i 是纯虚数. 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 全体复数组成的集合称为复数集，常用大写字母C表示，即 C={z|z=a+bi ,a,b ∈R}. 显然，实数集R 是复数集C 的真子集.引入复数后，数的范围得到扩充，因此复数可以分类如下： 复数a+bi (a,b∈R ) 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 例1 指出下列复数的实部和虚部，并判定哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. （1）=－i ；（2） =；（3） = . 解 （1） 的实部a=0,虚部b=－1，它是纯虚数. （2） 由于=－ i，故的实部a= ,虚部b=－，它是虚数. （3）由于= =－1，故的实部a=－1,虚部b=0，它是实数. 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 当两个复数的实部相等且虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数.复数z的共轭复数通常用 表示，即复数z=a+bi的共轭复数是z=a－bi. 例如，复数2+3i和2－3i互为共轭复数.而实数a的共轭复数仍是它本身. 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 做一做 写出下列复数的共轭复数： （1） 1－i；（2） 2πi；（3） －2. 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 如果两个复数a+bi（a,b∈R）和c+d i（c,d∈R）的实部与虚部分别相等，那么称这两个复数相等，记为a+bi=c+d i，即 a+bi=c+d ia=c且b=d. 特别地，a+bi=0 a=0且b=0. 值得注意的是，两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等.例如，1与i，2+i 与1－i 之间无大小可言. 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 每个复数按照形式的表示方式a+bi（a,b∈R）是否唯一确定. 议一议 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 例2 已知(5x－3y )+3xi=1+(9－y )i，其中x,y 是实数，求x,y. 解 把等式两端分别看成两个复数，根据复数相等的定义，得 解方程组得x=2,y=3. 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 做一做 求下列方程的实数x和y