3.2 复数的运算(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第3章 复数及其应用 3.1 复数的概念与几何表示 3.2 复数的运算 3.3 复数的应用举例 引 例 16世纪意大利数学家杰罗拉莫•卡尔达诺出版了一本书名叫做《大术》（又译《数学大典》）的数学书，其中有这样一道数学题：devide 10 in duas partes, ex quarum unius in reliquam ducto, produatur 40“. 翻译过来就是：“有两个数，它们相加之和等于10，相乘之积等于40。这是两个什么数？” 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 复数的加法和减法可以按照多项式的加法和减法的运算法则进行运算. 设=a+bi (a,b∈R), =c+d i (c,d∈R),将复数的加法和减法分别规定为 (a+bi )+(c+d i )=(a+c )+(b+d ) i， (a+bi )－(c+d i )=(a－c )+(b－d )i. 这样，两个复数的和的实部就是这两个复数的实部的和，两个复数的和的虚部就是这两个复数的虚部的和.而且容易验证，复数的加法运算满足交换律和结合律，即对任意的复数, , ，有 （1）交换律 + = + ; （2）结合律 (+ )+ = +(+ ). 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 由于复数可以用向量表示，故复数的加减运算相当于向量的加减运算.设复数=a+bi (a,b∈R)和=c+d i (c,d∈R)在复平面内对应的向量分别为, ，则=(a,b), =(c,d)，于是 + =(a+c ,b+d ), － =(a－c ,b－d ). 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 例1 已知=2+3i, =8－2i,计算+ 和－ . 解 + =(2+3i )+(8－2i ) =(2+8)+(3－2)i =10+i. － =(2+3i )－(8－2i ) =(2－8)+［3－(－2)］i =-6+5i. 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 例2 计算(－1+6i )+(2－5i )－(－3+4i ). 解 (－1+6i )+(2－5i )－(－3+4i ) =(－1+2+3)+(6－5－4)i =4－3i. 3.1 复数的概念与几何表示 3.1.1 复数的概念 两共轭复数的和为实数吗？两共轭复数的差为零或纯虚数吗？ 议一议 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 计算： （1） (2+3i )+(4－7i )； （2） 8－(4－7i )； （3） (2+3i )+7i； （4） 1+(－1－5i )－4i. 做一做 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 设=a+bi (a,b∈R), =c+d i (c,d∈R),将复数的乘法规定为 (a+bi )·(c+d i )=(ac－bd )+(ad+bc )i. 事实上，两个复数相乘可以按照多项式相乘的法则来进行，在所得的结果中，把换成－1，并把实部与虚部分别合并，即 (a+bi )·(c+d i )=ac+ad i+bc i+bd =ac+ad i+bc i－bd =(ac－bd )+(ad+bc )i. 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即对任意复数, , ，有 （1）交换律 · = · ; （2）结合律 (· )· = ·(· )； （3）分配律 ·(+ )= · + · . 特别地，规定=,n∈N*，称为复数z的n次幂. 3.2 复数的运算 3.2.1 复数代数形式的运算 例3 已知=2+3i, =2+i,计算： （1） · ；（2） . 解 （1）· =(2+3i )·(2+i ) =4+2i+6i－3