4.5 逻辑代数应用举例(课件)-中职《数学（职业模块 工科类）》同步教学（同济大学出版社）

第4章 逻辑代数初步 4.1 二进制 4.2 逻辑变量 4.3 逻辑代数的运算律与逻辑图 4.4 卡诺图及其应用 4.5 逻辑代数应用举例 引 例 《史记》卷六十五:《孙子吴起列传第五》中载：齐使者如梁，孙膑以刑徒阴见，说齐使。齐使以为奇，窃载与之齐。齐将田忌善而客待之。忌数与齐诸公子驰逐重射。孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈。于是孙膑谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜。”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金。及临质，孙膑曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷。”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金。于是忌进孙膑于威王。威王问兵法，遂以为师。 引 例 译文 ：齐国使者到大梁来，孙膑以刑徒的身份秘密拜见，劝说齐国使者。齐国使者觉得此人是个奇人，就偷偷地用车把他载回齐国。齐国将军田忌非常赏识他，并且待如上宾。田忌经常与齐国 众公子赛马，设重金赌注。孙膑发现他们的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王和诸公子用千金来赌注。比赛即将开始，孙膑说：“现在用您的下等马对付他们的上等马，拿您的上等马对付他们的中等马，拿您的中等马对付他们的下等马。”已经比了三场比赛，田忌一场败而两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。于是田忌把孙膑推荐给齐威王。齐威王向他请教兵法后，就请他当作军师。   4.5 逻辑代数应用举例 逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，本节将举例说明它在实际生活中的一些简单应用. 例1 住宅小区的跃层单元的楼梯上装有一盏电灯，楼梯口装有开关A，二楼楼梯口装有开关B，设计开关电路要满足以下条件： （1）第一个人上楼前，扳一下开关A，电灯亮； （2）第一个人上楼后，扳一下开关B，电灯灭； （3）第二个人上楼前，扳一下开关A，电灯再亮； （4）第二个人上楼后，扳一下开关B，电灯又灭. 写出这个电路的逻辑式. 4.5 逻辑代数应用举例 解 设开关A所处的状态为A，开关B所处的状态为B，电灯的状态为Y，列出真值表（见表4-15）. 由表4-11可以看出，电灯只在两种情况下才能亮： （1）开关A闭合，开关B切断时； （2）开关A切断，开关B闭合时. 也就是说，仅有两种情况下Y=1成立： （1）A=1成立；（2）B=1成立. 由此得到逻辑式 Y=A+ B. 表4-15 4.5 逻辑代数应用举例 例2 设有甲、乙、丙三台电机，它们运转时必须满足：任何时间必须有且仅有一台电机运行.若不满足该条件，就输出报警信号，试设计此报警电路. 解 甲、乙、丙三台电机的状态分别用A,B,C表示，将电机“运转”取值为“1”，“停转”取值为“0”；报警信号的状态用Y表示，将“报警”取值为“1”，“不报警”取值为“0”. 根据题意，列出真值表（见表4-16）. 由真值表可以看出，只在五种情况下输出报警信号，因此，逻辑式为 Y= + BC+AC+AB+ABC. 4.5 逻辑代数应用举例 表4-16 4.5 逻辑代数应用举例 画出对应的卡诺图，如图4-13所示. 观察卡诺图，函数的最简表达式为 Y= +BC+AC+AB， 由此，可画出逻辑图，如图4-14所示. 由例2看出，解决这类问题的一般步骤是： （1）搞清楚全部的逻辑关系及设计要求； （2）列出相应的真值表； （3）写出符合要求的逻辑关系式； （4）利用逻辑运算的运算律或画出对应的卡诺图进行化简； （5）画出逻辑关系式的逻辑图. 4.5 逻辑代数应用举例 图4-13 图4-14 4.5 逻辑代数应用举例 例3 一个公司要通过表决来确定一个新的企划案是否可行，要求董事会高层领导甲、乙、丙三人中至少要有两人同意，则新的企划案通过表决；但是甲还有否决权，只要甲不同意，则不能通过，写出逻辑关系式，画出逻辑图. 解 甲、乙、丙三人的状态分别用A,B,C表示，将“同意”取值为“1”，“不同意”取值为“0”；企划案的状态用Y表示，将“通过”取值为“1”，“不通过”取值为“0”. 根据题意，列出真值表（见表4-17）. 由真值表可以看出，只在三种情况下通过企划案，因此，逻辑式为 Y=AC+AB+ABC. 4.5 逻辑代数应用举例 表4-17 4.5 逻辑代数应用举例 画出对应的卡诺图，如图4-15所示. 观察卡诺图，函数的最简表达式为 Y=AC+AB, 由此，可画出逻辑图，如图4-16所示. 4.5