1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第2课时等比数列前n项和的综合应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比 1.在运用等比数列知识解决实际问题的过程 关系，并解决相应的问题。 中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的 2.能运用等比数列的前n项和公式解决一些 核心素养。 简单的实际问题 2.借助分组求和，培养数学运算的核心素养. 3.能用分组转化方法求数列的和. 课堂探究案 师生共研关键能力发展 [对应学生用书P] 探究一等比数列前n项和公式的函数特征应用 例口设等比数列{an}的公比为g,其前n项和为S,前n项积为Tn,并且满足条件a >1,a6a,>1,a6-1a7-1<0,则下列结论正确的是() A.dsas>1 B.0<q<1 C.Sn的最大值为S D.Tn的最大值为T B解析：若q<0,因为a>1,所以a60,a0,则a6·a<0与a6·a>1矛盾； 若g≥1，因为a>1,所以a6>1,a>1,则a6-1a7-1>0,与a6-1a7-1<0矛盾， 所以0<q<1,故B正确： 因为a6-1a7-1<0,则a61>a>0,所以a6ag=a7∈(0,1)，故A错误； 因为a>0,0<q<l,所以Sn=al1一q-aql一q单调递增，故C错误： 因为n≥7时，an∈(0,1)，1≤n≤6时，am>1,所以Tn的最大值为T6,故D错误 [方法总结]若数列{a}的前n项和Sn=A(g一1)，其中A≠0，g≠0且q≠1，则{am}是 等比数列. 同时S.=A(一1)可看作关于正整数n的指数型函数，可研究其单调性和有界性等问题. [训练1】（多选题）记数列an}的前n项和为s,若存在实数H,使得对任意的n∈N+, 都有SH,则称数列{a}为“和有界数列”.下列说法正确的是() A.若数列{an}是等差数列，且公差d=0,则数列{an}是“和有界数列” B.若数列{a}是等差数列，且数列{a}是“和有界数列”，则公差d=0 C.若数列{a}是等比数列，且公比g满足g<1,则数列{an}是“和有界数列” D.若数列{an}是等比数列，且数列{am}是“和有界数列”，则公比g满足q<l BC解析：若数列{an}是公差为d的等差数列，则Sn=na1十n(n一1)d2=d2n2十(a1一d2 m,当d=0时，若1≠0，则Sm=a1·m,Sn是n的一次函数，不存在符合题意的H,A错误： *独家授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 数列an}是“和有界数列”，当d≠0时，S.是n的二次函数，不存在符合题意的H, 当d=0,a1=0时，存在符合题意的H,B正确：若数列{a}是公比为q(g≠1)的等比数 列，则Sn=a1(1-gn)1一q,因g满足q<1,则q<1,即11-q2,S=a11-q)· I1一q2ya11一g小，则存在符合题意的实数H,即数列{an}是“和有界数列”，C正确： 若等比数列{a}是“和有界数列”，当g=-1时，若n为偶数， 则Sn=0,若n为奇数，则Sn=a1,即S=a,从而存在符合题意的实数H,D错误. 故选B、C 探究二等比数列前n项和公式的实际应用 命题角度1几何图形中的问题 例2把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉 (如图①)：再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉 (如图②)；如此继续下去 D 2 ③ (1)图③中共挖掉了 个正方形： (2)第n个图形共挖掉了 个正方形，这些正方形的面积和是 (1)73(2)81一171-(89y解析：设第n个图形共挖掉an个正方形，则a1=1,a2一a =8,4-a2=82,…,a,一a-1=8-1,所以an=1十8十82+…+8-1=8m-17.故(1)图③中 共挖掉了83一17=73个正方形， (②)第n个图形共挖掉了8一17个正方形.由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的 正方形的面积和为1×(13)2+8×(134+82×(13)6+…+8m-1×(13)2m=1avs4al小col(1 (f89)n)89=1-(89 [变式]本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解：由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sm,则Sn=1一(8乎，由于一直继续下 去，即n无限增大时，(89”无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1 [方法总结]解决此类问愿的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列 的相关知识求解 [训练2]如图，已知△ABC面积为4，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再 连接第二个三角形三边中点