第40届全国中学生物理竞赛复赛试题（2023.09.16）

第40届全国中学生物理竞赛复赛试题 (2023年9月16日上午9：00-12：00) 考生必读 1、考生考试前请务必认真阅读本须知。 2、本试题共8道题，5页，总分为320分。 3、如遇试题印刷不清楚情况，请务必向监考老师提出。 4、 需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上：写在试题纸和草稿纸上的解答一律不能得分。 一、(40分)利用智能手机的相机可以进行光学实验。手机的镜头是一个由许多元件组成的系统，这些镜头元件 被封装后只有几毫米厚，因此可以安装在厚度不到一厘米的手机中。相机的图像传感器以像素为单位记录所拍摄 的物体的像，借助软件可以读取像的实际尺寸。在以下问题中，将手机镜头视为结构固定的共轴理想透镜组，可 以证明其物像关系等效于一个凸透镜，可以利用薄透镜成像公式进行有关计算。与薄透镜不同的是，需要在光轴 上确定一对参考点H、H'(称为主点)作为计算物距、像距、焦距的起点，如图1a所示。本题所有成像光路都 满足近轴条件。 物 物 像 物距 像距 物距 像距 透镜组 薄透镜 图1a.透镜组的物像关系和薄透镜的物像关系 (1)物体通过镜头成像时，由于透镜组封装在手机内部，在镜头结构与参数未知的情况下无法直接确定主点位 置，因而无法直接用尺子测量物距u的具体数值。实验中，可以沿光轴前后移动与光轴垂直、长度为1的刻度尺， 使其在物距为出和？的两个位置分别成像，测量出刻度尺移动的距离s=山-4和对应像的长度大小、h。求： ()该镜头的等效焦距F(用测得的1、h、h和s表示)： (i)物距功（用测得的1k、、2和s表示）。 (2)若透镜组由两个焦距分别为万和五的共轴薄凸透镜1和2组成，它们的光心分别为01和O2,间距为d。物 (实或虚)的光依次通过透镜1和2成像时，透镜组存在横向放大率为十1的一对物面和像面（称为主平面） 它们与光轴的交点分别称为物方主点H和像方主点H。 (i)将H看作透镜1的“物”，求H相对于O1的物距：将H看作透镜2的“像”，求H相对于O2的像距。 ()透镜组成像时，物距、物方焦距从物方主点H算起，像距、像方焦距从像方主点H算起，求物方焦距F 和像方焦距F。 二、(40分)如图2a,将一个粗细均匀、两端封闭的细玻璃管弯成半径为r的 半圆环（玻璃管的横截面半径远小于？），竖直固定于水平地面上，两端面与地 面接触：玻璃管内有一个质量为m的活塞（薄金属片），活塞与管内壁密接，两 者之间的摩擦可忽略不计，活塞在半圆环内相对于竖直方向的角位置记为日。 活塞两边管内各有摩尔的理想气体，且其温度始终与外界温度T(绝对温度) 相同。己知重力加速度大小为g,普适气体常量为R,所有涉及的气体状态变 图2a 化的过程均可视为准静态过程。 (1)当温度T高于某临界温度T时，玻璃管的正中央(0=0)是活塞的稳定平衡位置。求临界温度T的表达式， CS扫描全能王 并计算活塞在该平衡位置附近做微振动的圆频率： (2)当温度T=T时，分析并判断活塞在玻璃管正中央时平衡的稳定性。 解答如下几问时，可将工看作为已知参量，不必代入(1)中的结果。 (3)当T<T时，求活寒的稳定平衡位置与竖直方向的夹角（所满足的方程，并给出温度略小于T时A的近似 表达式（保留至非零的最低阶）： (4)当T<T时，求活塞在稳定平衡位置附近微振动的圆频率4对的依赖关系，（②，）（表达式中可含有上一 问中的只参量，但不可包含T参量)，并给出温度T略大于T和略小于T两种情况下，活寨微振动的圆频率对温 度的依赖关系： (5)当T<T时，假设活塞的初始速度近似为零，求活塞从正中央运动到可到达的角位置处的角速度大小。 三、(40分)如图3，倾角为0、质量为M的三角形楔块放在光滑的水平地面 上，其斜面上有一个质量为m、半径为r的匀质圆球，让该球从静止开始自由 向下运动，整个过程中楔块无转动。重力加速度大小为g,假设圆球与楔块之 间的静摩擦因数和滑动摩擦因数均为4。 (1)若4足够大，使得球无滑动地滚下，求： 图3a ()楔块相对于地面的加速度的大小a: ()匀质圆球质心相对于楔块的加速度的大小a,: ()地面对楔块的支持力的大小N: (v)楔块对圆球的支持力的大小N: (V)为了使匀质圆球保持无滑滚动，球与楔块之间摩擦因数μ的最小可能值%： (2)若μ小于第(1)(V)问中的4，且楔块斜面足够长，求圆球从静止开始运动一段时间△后，圆球上与楔 块接触的点P相对于楔块的速度。 四、(40分)北宋著名画家张择端所绘的《清明上河图》中有一座用木材制作的“编木拱桥”（图4妇），形成一道 飞虹架设在河上。四百多年后达·芬奇也曾留下类似的设计手稿，至今为世人称奇。图4b是五个单元组成的编木 拱桥实物模型，每个单元包含一对与纸面平行的长杆和一根垂直于纸面的短杆，它没有钉也没有卯，整个结构的 所有组件