第10讲 双曲线的弦长、焦点弦-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第10讲 双曲线的弦长、焦点弦 1．（2023·全国·高二专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积. 2．（2023·湖南郴州·校联考二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线E实轴长为2，过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围. 4．（2023·全国·校联考一模）已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点. （1）求双曲线的方程； （2）求证：面积为定值，并求出该定值. 5．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的实轴长为，C的一条渐近线斜率为，直线l交C于P，Q两点，点在双曲线C上. (1)若直线l过C的右焦点，且斜率为，求的面积； (2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点. 6．（2023·全国·高二专题练习）P是双曲线右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C． (1)记P，Q的纵坐标分别为，求的值； (2)记的面积分别为，当时，求的取值范围． 7．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知倾斜角为的直线经过点，且与曲线交于两点，求的面积. 8．（2023秋·河南洛阳·高三校考阶段练习）已知曲线C的方程：，倾斜角为的直线过点，且与曲线C相交于A，B两点. (1)时，求三角形的面积； (2)在x轴上是否存在定点M，使直线与曲线C有两个交点A、B的情况下，总有?如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由. 9．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的实轴长为6，左右焦点分别为，，点在双曲线上，轴，且. (1)求双曲线及其渐近线的方程； (2)如图，若过点斜率为的直线与双曲线及其两条渐近线从左至右依次交于，，，四点，且，求. 10．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围. 11．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的渐近线方程为，左右顶点为，设点，直线分别与双曲线交于两点（不同于）. (1)求双曲线的方程； (2)设的面积分别为，若，求直线方程.（写出一条即可） 12．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，． (1)求双曲线C的方程； (2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且，求O到直线MN的距离． 13．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，且C的离心率为． (1)求C的方程； (2)直线交C的左支于P，Q两点，且直线AP，AQ的斜率之和为0，若，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求的面积． 14．（2023·浙江·统考二模）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点． (1)记直线，的斜率分别为，，求； (2)记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程． 15．（2023·河北·统考模拟预测）已知点在双曲线上，且的离心率为，直线交的左支于，两点，直线，的斜率之和为0． (1)求直线的斜率； (2)若，直线，与轴的交点分别为，，求的面积． 16．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）双曲线，最早由门奈赫莫斯发现， 后来阿波罗尼兹进行了总结和完善.在他的著作中，双曲线也被称作“超曲线”. 已知双曲线的实半轴长为2，左､右顶点分别为，经过点的直线与的右支分别交于两点，其中点在轴上方. (1)若轴时，，设直线的斜率分别为，求的值； (2)若，求的面积. 17．（2023春