第7讲 椭圆中参数范围及最值-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第7讲 椭圆中参数范围及最值 1．（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点. （i）若直线交轴于点，证明：为一个定点； （ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值. 2．（2023·四川泸州·校考三模）已知椭圆C：经过点，其右顶点为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P，Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求面积的最大值. 3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，上顶点为M，下顶点为N，，设点在直线上，过点T的直线分别交椭圆C于点E和点F． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：直线恒过定点，并求出该定点； (3)若的面积为的面积的k倍，则当t为何值时，k取得最大值？ 4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E：经过点，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF． (1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标； (2)记△AFM、△BFM的面积分别为和，当取最大值时，求直线AB的方程． 参考结论：点为椭圆上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为． 5．（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点是,且以为直径的圆的面积为,点P是椭圆C上任一点,且的面积的最大值为． (1)求椭圆C的方程; (2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,且原点O到直线l的距离为1,求面积的取值范围． 6．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设椭圆的左顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆上异于点的两动点，若直线的斜率之积为. ①证明直线恒过定点，并求出该点坐标； ②求面积的最大值. 7．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第十一中学阶段练习）已知椭圆的短轴长为，一个焦点为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值． 8．（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知椭圆，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l与椭圆C交于A､B两点，求△ABF1的面积的最大值． 9．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点. (1)求椭圆方程； (2)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由. 10．（2023秋·安徽·高三校联考开学考试）已知椭圆经过点，且椭圆的长轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设经过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求的面积的取值范围． 11．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知椭圆:过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点、，且． (1)求椭圆的方程； (2)设点是椭圆上除长轴端点外的任一点，、为左、右焦点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围． 33．（2023·全国·高三专题练习）平面直角坐标系 ​中，已知椭圆​，椭圆​.设点​为椭圆​上任意一点，过点​的直线​交椭圆​于​两点，射线​交椭圆​于点​. (1)求证: ​; (2)求 ​面积的最大值. 14．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知过点的椭圆：上的点到焦点的最大距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)已知过椭圆：上一点的切线方程为.已知点M为直线上任意一点，过M点作椭圆的两条切线 ，为切点，与（O为原点）交于点D，当最小时求四边形的面积. 15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左､右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程. 16．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直. (1)求； (2)已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围. 17．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的