第4讲 抛物线-2024年新高考数学《大题专项训练之解析几何篇》

第4讲 抛物线 1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F． (1)求抛物线的方程及a； (2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，直线的斜率为的面积为1． (1)求的方程； (2)过点作一条直线，交于两点，试问在上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023春·安徽滁州·高二校考期末）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点. (1)求抛物线E的标准方程； (2)（ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围. 4．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：经过抛物线C的焦点. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线1与抛物线C相交于A､B两点，过A､B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P.求面积的最小值. 5．（2023·黑龙江大庆·大庆市东风中学校考模拟预测）已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为. (1)求抛物线的方程和点的坐标； (2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为3，，为抛物线上异于原点的两点.延长，分别交抛物线于点，，直线，相交于点. (1)若，求四边形面积的最小值； (2)证明:点在定直线上. 7．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：和椭圆：有共同的焦点F (1)求抛物线C的方程，并写出它的准线方程 (2)过F作直线交抛物线C于P， Q两点，交椭圆E于M， N两点，证明：当且仅当轴时，取得最小值 8．（2023·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，.证明：，且为定值. 9．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为. (1)求的方程； (2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 10．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知离心率为的椭圆C1：(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：的焦点. (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 11．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，的面积的最小值为4． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由． 12．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且. (1)求抛物线的方程； (2)如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值. 13．（2023·全国·高三专题练习）如图，、为双曲线的左、右焦点，抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，设与在第一象限的交点为，且，，为钝角. (1)求双曲线与抛物线的方程； (2)过作不垂直于轴的直线l，依次交的右支、于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值.若是，求此定值；若不是，请说明理由. 14．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3． (1)求椭圆E的标准方程； (2)设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由． 15．（2023·广西桂林·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，