专题08 空间向量的运算及其应用6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题08 空间向量的运算及应用6种常见考法归类 1、用已知向量表示未知向量的解题策略 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 2、证明空间任意三点共线的方法 对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线. (1)； (2)对空间任一点O，； (3)对空间任一点O，． 3、证明空间四点共面的方法 对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 (1)； (2)对空间任一点O，； (3)对空间任一点O，； (4)∥(或∥或∥)． 4、空间向量数量积计算的两种方法 (1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 5、空间向量数量积的三个应用 求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角 求长度(距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 注：①当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用； ② 当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以 ③立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解． 6、空间向量的坐标运算 （1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标． （2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么 ①a±b＝． ②a·b＝，③cos〈a，b〉＝， ④|a|＝＝，⑤λa＝， ⑥a∥b⇔(λ∈R)， ⑦a⊥b⇔. （3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 空间向量及其线性运算 考点二 共线向量与共面向量 考点三 空间向量的数量积运算 考点四 空间向量的夹角与距离求解公式 考点五 空间向量基本定理 考点六 空间向量运算的坐标表示 考点一 空间向量及其线性运算 1．（2023秋•大通县期末）在正方体中，　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•南阳期末）在空间四边形中，点，分别是和的中点，则　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•湘潭期末）已知在空间四边形中，，则　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•华容县期末）如图，已知平行六面体，则　　 A． B． C． D． 5．（2023春•泉州期末）在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与相等的向量是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•威海期末）在平行六面体中，点满足，则　　 A． B． C． D． 考点二 共线向量与共面向量 7．（2023春•许昌期末）已知，，若与共线，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2023春•榆林期末）已知向量，，若，则　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•密云区期末）已知，，且，则　　 A．， B．， C．， D．， 10．（2023秋•兰山区校级期末）已知空间向量，，，，若，则　　 A．2 B． C．14 D． 11．（2023春•揭阳期末）已知空间向量，，若，则　　 A．1 B． C．2 D． 12．（2023春•湛江期末）已知，，且，则　　 A． B． C． D．， 13．（2023秋•中山市校级期末）已知向量，，且与互相平行，则实数的值为　　 A． B．2 C．1 D． 14．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为　　 A． B． C．1 D．2 15．（2023秋•下城区校级期末）对于空间一点和不共线三点，，，且有，则　　 A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，，五点共面 16．（2023秋•丹东期末）已知空间向量，，若，，，共面，则实数的值为　　 A． B．6 C． D．12 考点三 空间向量的数量积运算 17．（2023秋•渝北区校级期末）若，，则等于　　 A． B． C．5 D．7 18．（2023秋•天津期末）已知空间向量，，，则　　 A． B． C．，， D．，0， 19．（2023秋•龙华区期末）已知向量，，若