专题11 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(湘教版）

专题11 模型构建专题：全等三角形中的常见七种解题模型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【模型一 平移型模型】 1 【模型二 轴对称型模型】 8 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 12 【模型四 一线三等角模型】 19 【模型五 三垂直模型】 25 【模型六 旋转型模型】 30 【模型七 倍长中线模型】 39 【典型例题】 【模型一 平移型模型】 例题：（2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试）如图，点，在线段上，，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式训练】 1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在和中，点A、B、C在一条直线上，．求证：．    2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上．    (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 3．（2023春·山西太原·八年级统考期中）综合与实践探索图形平移中的数学问题 问题情境：如图，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 操作探究：将△ADE从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，． （1）如图，善思小组的同学画出了时的情形，求此时△ADE平移的距离； （2）如图，点是的中点，在△ADE平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立请你证明这一结论； 拓展延伸：（3）请从，两题中任选一题作答，我选择______ 题 A.在△ADE平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离． B．在△ADE平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离． 【模型二 轴对称型模型】 例题：（2023秋·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图，，，求证：．    【变式训练】 1．（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，在中，，是的中点，，且，求证：．    2．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，．    (1)求证：； (2)若．求证：是等边三角形． 3．（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，、相交于点，求证：      (1)； (2)． 【模型三 四边形中构造全等三角形解题】 例题：（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）已知：如图，，，、分别是和的中点．求证： ．    【变式训练】 1．（2023春·广西玉林·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． 根据学习平行四边形性质的经验，小文对筝形的性质进行了探究．    (1)小文通过观察、实验、猜想、证明得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图，在筝形中，，． 求证：___________． 证明：___________ (2)小文连接筝形的两条对角线，探究得到筝形对角线的性质是___________．（写出一条即可） 2．如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，． (1)若，，求四边形AECF的面积； (2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 3．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF． (1)试说明：DE=DF： (2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论． (3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？ 【模型四 一线三等角模型】 例题：（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）（1）问题发现：如图1，射线在的内部，点B、C分别在的边、上，且，若，求证：； （2）类比探究：如图 2，，且． （1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）拓展延伸：如图3，在中，，．点E在边上，，点D、F在线段上，．若 的面积为，，求与的面积之比．    【变式训练】 1．已知是经过顶点C的一条直线，．E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上，请解决下面问题： ①如图1，若，，求证：； ②如图2，若，探索三条线段的数量关系，并证明你的结论； (2)如图3，若直线经过的外部，，题（1）②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论再给予证明． 2．（2023春·上海·七年级专题练习）在直线上依次取互不重合的三