上海市某校2023-2024学年高二上学期摸底考试数学试题

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期 高二数学摸底试卷 (本试卷共4页，满分150分，120分钟完成。答案一律写在答题纸上) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题 5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1.若区间(-o,4)是不等式x-1卜3解巢的子集，则实数a的取值范围是 2.已知复数2=1-21 则z的共扼复数z= 3+4i 3.若sina= 3,ae 2π 则cosa= 4.设集合A p=-1ss,8=p2-0<xs小，则 A∩B= 5.若记log23=a,则log616可用a表示为 6.若不等式x-3引+|x-52a对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是 7.设平面向量a=(-2,1),b=1,2),若a与b的夹角为钝角，则实数2的取值 范围是 8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、bc,已知b-c=二a,2sinB=3sinC, 则cosA= 9.已知复数z满足引z=1,且z3+z=1,则复数z= 10.设f(x)=2sin 4x 若对任意x∈R,都有f(:)≤f(x)≤f(x),则 |为-x2|的最小值为 11.已知在△ABC中，AB=2,AC=1,∠BAC=120°，点0是△ABC的外 心，若AO=xAB+yAC,则x+y= 2023-2024学年第一学期高二数学摸底考试卷 第1页共4页 12.设函数y=f(x)是奇函数，当x20时，f田=x-a1+川x-2a1-3a）.若 对任意的x∈R,不等式f(x-1)≤f(x)都成立，则实数a的取值范围是 二、选择题（本大题共有4题，每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生 应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑. 13.下列结论命题中正确的是 A.对对任意x>0,E+1 2 B.任意x>0且x≠1,1gx+1≥2 1 C.函数y=x+二，x之2的最小值是2 D.函数y=x-1,0<x<2无最大值 14.设m是正整数，m之2，在数列{an}中，“am-1≤am且am之am1”是“am 是数列{an}的最大项”的 (). A,充分非必要条件 B,必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 15.设f(x)=2*+x3-2,函数y=f(x)在区间(0,1)内的零点个数为（ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 16.已知向量a与b的夹角为120°，且ai=-2,向量c满足 c=a+(1-)b(0<元<1)，且ac=bc,记向量c在a、方方向上的数量投 影分别为x,现有两个命题：①诺入=行，则a21列；⑦2+y+少的最 3 大值为：则 A.①成立；②成立 B.①成立，②不成立 C.①不成立；②成立 D.①不成立，②不成立 2023-2024学年第一学期高二数学摸底考试卷 第2页共4页 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分). 设f(x)=2 sinxcosx+V3(cos2x-sin2x),xeR.求函数y=f(x)的最小 正周期、单调增区间、最大值以及取得最大值时相应x的值，并求方程f(x)=1在 区间 12 上的解， 12 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 设关于x的不等式x2+bx+c<0(常数b、c为实数)的解集为A. (1)若集合A=(-1,2),求实数bc的值； (2)设b=-1,c=-6,记关于x的不等式x2-2x-m(m-2)<0的解集为 B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 海事救援船对一艘失事船进行定位；以失事船当前位置为原点，以正北方向为 y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船 正南方向12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y= 1 x2; 49 ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救授船出发1小 时后，失事船所在位置的横坐标为7t. (1)当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若 此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 2023-2024学年第一学期高二数学摸底考试卷 第3页共4页 20.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分， 第3小题满分6分， 已知点n(an,b)满足a1=abn+1,b1= -1-4a2 ,且点￡的坐标为(1，-1)· (1)求过点乃、P的直线I的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于任意n∈N,n≥1，点Pn都在(1)中的直线1上； (3)