第23章 旋转复习小结 第2课时 旋转模型-2023-2024学年九年级数学上册随堂教学课件（人教版）

旋转模型 第23章 旋转复习和小结 | 第2课时| 专题一 手拉手模型 1. 等边三角形手拉手 如图，B、C、D 三点共线，△ABC 和△CDE 是等边三角形，连接 AD、 BE ，交于点 P，则常见结论有： 结论1：△ACD ≌△BCE. 结论2：△MNC 是等边三角形. 结论3：∠EPD = 60°. 2. 正方形手拉手 如图，四边形 ABCD 和四边形 CEFG 均为正方形，连接 BE、DG ，则常见结论有： 结论1：△BCE ≌△DCG. 结论2：BE = DG，BE⊥DG. 专题一 半角模型 1. 等腰直角三角形含45° 条件: ①AB＝AC， ②∠BAC＝90°， ③∠DAE＝45° 结论: ①△AED≌△AEF； ②△CEF为直角三角形； ③BD2＋CE2＝DE2 2. 正方形含45° 条件: ①∠BAD＝90° ②∠EAF＝45° 结论: ①△AEF≌△AEG； ②△AGF为等腰直角三角形； ③EF＝BE＋DF 3. 120°等腰三角形含60° 条件: ①∠BDC＝120° ②∠EDF＝60 结论: ①△DEF≌△DGF； ②EF＝BE＋CF0 1.如图，等边三角形 ABC 内有一点 P，分别连结 AP、BP、CP，若 AP = 6，BP = 8，CP = 10. 则 S△ABP + S△BPC =___________. 分析：构造旋转. 如图，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得△BEA，连接 EP，可得△AEP 是直角三角形，△BEP 是等边三角形， 2. 如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕点 C 旋转，给出下列结论：① BE = DG；② BE⊥DG；③ DE² + BG² = 2a² + 2b²，其中正确结论是__________(填序号). 分析：①②显然正确，下分析③： 连接 BD、EG、DE，BD² + EG² = 2a2 +2b2，记 BE、DG 交点为 H 点， a b H BD² = BH² + DH²，EG2 = EH² + GH²， DE² = DH² + EH²，BG2 = BH² + GH2， ∴ DE² + BG² = BD² + EG². ∴ DE² + BG2 = 2a2 +2b2. 故正确的结论有①②③. 例1 如图，在四边形 ABDC 中，AB＝3，AC＝2，将△ABD 绕点 D 顺时针方向旋转 60° 后得到△ECD，此时发现点 A、C、E 恰好在一条直线上，求∠BAD的度数与 AD 的长. 2 3 ∵ 点 A、C、E 在一条直线上， ∴△ADE 为等边三角形. ∴ AD＝AE，由旋转得∠BAD＝∠E＝60°. 由旋转，CE＝AB＝3. ∴ AE＝AC＋CE＝2＋3＝5， ∴ AD＝5. 3. 如图，在△ABC 中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，△ACD 是等边三角形，求 BD 的长. ∴ CE＝ ＝ ＝10， 解：将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 60°，得△AEC，连接 BE， 则 AB＝AE，∠BAE＝60°，得等边△ABE， ∴∠ABE＝60°，BE＝AB＝6. ∠EBC＝60°＋30°＝90°. 由旋转得 BD＝CE＝10. [解题策略] 共顶点的等腰三角形→旋转→全等 旋转60°(补形)→构造共顶点的两个等边三角形 例2 如图，在等腰 △ABC 中，∠CAB＝90°，P 是△ABC 内一点，PA＝1，PB＝3，PC＝，将△APB 绕点 A 逆时针旋转后与△AQC 重合. (1) 求线段 PQ 的长； (2) 求∠APC 的度数. ∴ PQ＝ ＝ ＝ . ∴ AQ＝PA＝1，∠QAP＝∠CAB＝90°， (2) ∵ AQ＝AP，∠PAQ＝90°， ∴∠APQ＝45°. ∵△APB 绕点 A 逆时针旋转后与△AQC 重合， ∴CQ＝PB＝3. 在△PCQ 中，PC＝ ，PQ＝ ，CQ＝3， ∴ PC2＋PQ2＝CQ2. ∴∠CPQ＝90°. ∴ ∠APC＝∠APQ＋∠CPQ＝45°＋90°＝135°. 解：(1)∵△APB 绕点 A 逆时针旋转后与△AQC 重合， 解：将△ABD 绕点 A 顺时针旋转 90° 得△AEC，连接 BE，则△ABE 为等腰直角三角形， ∵∠ABC＝45°， ∴∠EBC＝45°＋45°＝90°. 由旋转，得 BD＝CE＝13. 4. 如图，△ABC 中，∠ABC＝45°，AB＝ ，BC＝12，以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点作等腰直角△