2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.8　对数与对数函数

§2.8　对数与对数函数 考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 知识梳理 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 常用结论 1．logab·logba＝1，＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M＝N，则logaM＝logaN.(　×　) (2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．(　×　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　) (4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　) 教材改编题 1．若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为(　　) A．[0,1] B．(0,1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 答案　A 解析　根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增， 因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22， 即f(x)∈[0,1]． 2．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． 答案　(3,2) 解析　∵loga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)． 3．eln 2＋＝________. 答案　4 解析　eln 2＋＝2＋log416＝2＋2＝4. 题型一　对数式的运算 例1　(1)若2a＝5b＝10，则＋的值是(　　) A．－1 B. C. D．1 答案　D 解析　由2a＝5b＝10， ∴a＝log210，b＝log510， ∴＝lg 2，＝lg 5， ∴＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)计算：log535＋－log5－log514＝________. 答案　2 解析　原式＝log535－log5－log514＋ ＝log5＋ ＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2. 思维升华　解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 跟踪训练1　(1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log85，则4a－3b＝________. 答案　 解析　因为2a＝3，所以a＝log23， 又b＝log85， 所以b＝log25， 所以a－3b＝log2，4a－3b＝＝. (2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________. 答案　－1 解析　原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋－×＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1. 题型二　对数函数的图象及应用 例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 答