2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.6　二次函数与幂函数

§2.6　二次函数与幂函数 考试要求　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 知识梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝是幂函数．(　×　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　√　) (3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　×　) 教材改编题 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于(　　) A. B．4 C．8 D. 答案　D 解析　设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以f(5)＝5α＝， 解得α＝－1，所以f(x)＝x－1，则f(8)＝8－1＝. 2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞) 答案　A 解析　f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2， 又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]． 3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　) A．[－6,2] B．[－6,1] C．[0,2] D．[0,1] 答案　A 解析　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1， 则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， ∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6， 即f(x)的值域为[－6,2]. 题型一　幂函数的图象与性质 例1　(1)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　) A．－1<n<0<m<1 B．n<－1，0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1 答案　B 解析　由图象知，y＝xm在(0，＋∞)上单调递增， 所以m>0， 又y＝xm的图象增长得越来越慢， 所以m<1， y＝xn在(0，＋∞)上单调递减， 所以n<0， 又当x>1时，y＝xn的图象在y＝x－1的下方， 所以n<－1. 综上，n<－1，0<m<1. (2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5)在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等于(　　) A．27 B．9 C. D. 答案　A 解析　由题意，得m2＋m－5＝1， 即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3， 当m＝2时，可得函数f(x)＝x3， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m＝－3时，可得f(x)＝x－2， 此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f(x)＝x3，则f(3)＝27. 思维升华　(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1　(1)已知幂函数(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0 答案　D 解析　因为函数的图象关于y轴对称， 所以函数为偶函数，即p为偶数， 又函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且在(