2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章　§2.3　函数的奇偶性、周期性

§2.3　函数的奇偶性、周期性 考试要求　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用． 知识梳理 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　×　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　×　) (3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　×　) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．(　√　) 教材改编题 1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上(　　) A．单调递增，且有最小值f(1) B．单调递增，且有最大值f(1) C．单调递减，且有最小值f(2) D．单调递减，且有最大值f(2) 答案　A 解析　偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减， 则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增， 即有最小值为f(1)，最大值为f(2)． 对照选项，A正确． 2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________. 答案　－6 解析　因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x， 所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6. 3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 答案　－1 解析　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数， 所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 题型一　函数奇偶性的判断 例1　(多选)下列命题中正确的是(　　) A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数y＝xsin x是偶函数 C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D．函数y＝是奇函数 答案　BC 解析　对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确； 对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)， 所以该函数为偶函数，所以B正确； 对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称， 且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)， 所以函数为奇函数，所以C正确； 对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确． 思维升华　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 答案　C 解析　选项A，f(x)g(x)＝(ex＋e－x)sin x， f(－x)g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(ex＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误； 选项B，|f(x)|g(x)＝|sin x|(ex＋e－x)， |f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋ex)＝|sin x