专题12.1 一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题12.1 一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】函数及相关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【知识点2】一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 【知识点3】一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 【知识点4】一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 【知识点5】一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 【知识点6】确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b，再把点（0,1）的坐标代入即可. 【知识点7】图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 平移规律：左加右减，上加下减. 【知识点8】两条直线间的位置关系 设直线，. (1)相交；（2)平行；（3)垂直. 补充：若直线经过，两点，则. 【知识点9】一次函数与方程（组） （1）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应. （2）二元一次方程组 的解就是两个一次函数和图象的交点坐标. （3）一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 【知识点10】一次函数与不等式 （1）一次函数的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 （2）一次函数的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式的解集 【考点一】函数的认识➼➻函数概念★自变量的取值范围★函数值 【例1】（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x小时后剩余油量y升． （1）写出一次加满油后剩余油量y与时间x的函数关系式． （2）求出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据剩余油量＝总油量－耗油量列函数关系式即可； （2）根据一次加满油40升可得，然后可求出自变量的取值范围． （1）解：由题意得：； （2）解：∵一次加满油40升， ∴， 解得：， ∴自变量的取值范围为． 【点拨】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式． 【举一反三】 【变式1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y是x的函数的是（    ） A．  B．   C．   D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义，一个x只能对应一个y，函数的表示方法有图象法，列表法和关系式法，根据定义判断即可． 解：A选项是列表法表示的函数，一个x只对应了一个y，所以y是