第02讲 相似三角形的判定与性质（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第02讲 相似三角形的判定与性质 1.了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力； 3.理解并掌握相似三角形的性质，注意对应点、对应线段、对应角写在对应位置上； 4.灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算； 5.运用相似三角形的性质解决综合问题。 知识点1 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点2 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 知识点3 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点4 相似三角形的性质与判定综合 【题型1 相似三角形的概念】 【典例1】（2022秋•郯城县校级期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023春•梁溪区校级期末）下列两个三角形不一定相似的是（　　） A．两个等边三角形 B．两个顶角是120°的等腰三角形 C．两个全等三角形 D．两个直角三角形 【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】 【典例2】如图，已知．求证：． 【变式2】（2023•瑶海区三模）如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC＝　　 ，BC＝　 　； （2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论． 【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】 【典例3】（2022秋•铜仁市期末）如图，D，E分别为AB，AC边上两点，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6．求证：△ADE∽△ACB． 【变式3-1】（2022秋•泉州期末）如图，AB、CD相交于点O，已知OA＝3，OD＝4，OB＝2，OC＝1.5．求证：△AOD∽△COB． 【变式3-2】（2023•海淀区校级开学）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝8，EC＝2．求证：△ADE∽△ACB． 【变式3-3】（2022秋•商南县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝6，AE＝3，AC＝12． （1）求CD的长． （2）求证：△ABE∽△ACB． 【题型4 两角对应相等，两三角形相似】 【典例4】（2023•平潭县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC． 【变式4-1】（2023•凤庆县二模）如图，AC为菱形ABCD的对角线，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC．求证：△ACD∽△ABE． ​ 【变式4-2】（2023•涵江区一模）如图，在△ABC和△DCB中，BA⊥CA于A，CD⊥BD于D，BD相交于点O，OB＝OC，求证：△ABC∽△DCB． 【变式4-3】（2023•越秀区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上的点（不与点B，点C重