专题3.1 不等式的基本性质（五个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题3.1不等式的基本性质 知识点1 两个实数大小的比较 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为:. 从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 知识点2 等式的基本性质 性质1.如果,那么; 性质2.如果,那么; 性质3.如果,那么; 性质4.如果,那么; 性质5.如果,那么 知识点3 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 重难点1用不等式(组)表示不等关系 【例1】下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【例2】某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩不低于95分，文化课总分高于380分，体育成绩超过45分，请用不等式或不等式组表示以上不等关系． 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【变式1-1】铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1-2】人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是_____. 【变式1-3】将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 重难点2作差(商)法比较数(式)的大小 【例3】已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例4】设，比较与的大小 作差法比较两个数大小的步骤及变形方法： （1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 【变式2-1】比大小：_____． 【变式2-2】（1）已知，比较与的大小； （2）已知，试比较与的大小. 【变式2-3】同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 重难点3利用不等式的性质判断不等式 【例5】已知，则对于下列不等式，正确命题的个数为（    ） （1）；（2）；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例6】下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 利用不等式判断正误的2种方法： ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【变式3-1】对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-2】（多选）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）若，，则下列不等式一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 重难点4利用不等式的性质证明不等式 【例7】若，，，求证：. 【例8】（1）比较与的大小． （2）已知，求证：； 利用不等式的性质证明不等式的注意事项： ①利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【变式4-1】证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【变式4-2】（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 【变式4-3】证明下列不等式： (1)已知，求证 (2)已知，求证：． 重难