专题5.6 正弦定理和余弦定理（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（四川专用）

专题5.6 正弦定理和余弦定理 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 1．正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝＝2R．其中R是三角形外接圆的半径． (2)正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. 2．余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC. 若令C＝90°，则c2＝c2＋a2，即为勾股定理． (2)余弦定理的推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2 > c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2 < c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角． 3．解三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用正弦定理，只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b 解的个数 ①一解　　　　 ②两解　　　　 ③一解　　　　 ④一解　　　　 (3)已知三边,用余弦定理．有解时,只有一解.(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解 4．三角形中的常用公式及变式 (1)三角形面积公式S△＝absinC＝bcsinA＝acsinB． (2)A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)， ＝－，从而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C). 一、 正弦定理合 例1、△ABC中角A、B、C所对的边分别a，b，c，若，，，则＝（       ） A． B． C． D． 例2、的内角，，的对边分别为a，b，c，若，则（       ） A． B． C． D． 例3、在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2，b=3，，则（       ） A． B． C． D． 例4、在中，若，，，则此三角形解的情况是（       ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 例5、若a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，，且，则 . 1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则（       ） A．30° B．60° C．90° D．150° 2、在△中，，，，则（       ） A． B． C． D． 3、已知中，内角所对的边分别为.若，，，则（       ） A． B． C．或 D． 4、在△ABC中，，，，则满足条件的△ABC（       ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定 5、在中，已知，则 . 二、余弦定理 例1、若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（       ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 例2、在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（       ） A． B． C． D． 例3、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（       ） A．120° B．150° C．45° D．60° 例4、在中，，，则 . 例5、△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则 ． 1、在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（       ） A． B． C． D． 2、在中，，，，则的形状是（       ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3、在中，若，，，则（       ） A．6 B． C． D． 4、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（       ） A． B． C． D． 5、在中，若，则 . 三、 三角形的面积公式 例1、在中，若，，，则的值为（       ） A． B． C． D． 例2、中．已知且的面积为，则角B等于（       ） A． B． C．或 D．或 例3、在中，内角所对的边分别是，，，的面积为，则（       ） A． B． C． D． 例4、在中，，，，则的面积等于（       ） A． B． C．或 D．或 例5、已知，点在的延长线上，且，，，