专题（六）幂的运算技巧 讲义 2022—2023学年沪科版数学七年级下册

专题（六）幂的运算技巧 1、 选点内容 1、利用幂的运算法则进行简便运算 2、利用幂的运算法则求值 3、利用幂的运算法则比较大小 4、整除问题 2、 典型例题 (一)利用幂的运算法则进行简便运算 【典例】 计算：（﹣5）2020×（）2021 【解析】解：（﹣5）2020×（）2021 ＝（）2020×（）2020 ． 【重难点剖析】考虑两个幂的底数互为倒数，可将两个指数化为相等形式，逆向运用积的乘方运算法进行计算，注意积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【变式一】计算的结果是    A. B. C. D. 【答案】C 解：原式， ， ． 【重难点剖析】 本题要考虑幂的乘方公式的选择：使用同底数幂的乘法还是使用积的乘方（逆运算）；正确的方法是根据积的乘方的逆运算先化简算式，再根据有理数的乘方计算得出结果． 【变式二】数是_________位数． 【分析】本题考查指数运算及科学计数法等知识，熟练掌握运算法则，明白科学计数法的意义是解答本题的关键先将通过运算变换为科学计数法的形式即可作答． 【解答】 解：． 故答案：十 （二）利用幂的运算法则求值 【典例1】若2×8x×16x＝222，求x的值． 【解析】 2×8x×16x＝222， 2×23x×24x＝222， 21+3x+4x＝222， 1+3x+4x＝22， 7x＝21， x＝3． 【重难点剖析】 等式左边的三个因式可以转化为同底数幂的形式，根据同底数幂的乘法法则等式两边都可化为以2为底的幂的形式，是解题的关键． 【变式一】若，则的值为    A. B. C. D. 【分析】 本题考查的是同底数幂的除法运算、幂的乘方，掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键．根据题意求出，根据同底数幂的乘除法法则计算即可． 【解答】 解：， ， 则原式 ， 故选B． 【变式二】已知，的值是     A. B. C. D. 【分析】 本题考查了幂的乘方，同底数幂除法，负整数指数幂先根据幂的乘方法则得到，再根据同底数幂除法法则和负整数指数幂计算即可． 【解答】 解：， ， ． 故选B．  【典例2】已知实数，，满足，，，求的值 【解析】 ， ，，， ，， ，， 原式， 【重难点剖析】根据同底数幂的除法，可以得到、的值，再将原式变形为含有、的式子，即可求得所求式子的值． 【变式一】已知：求的值． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握它们的运算法则是关键首先由已知条件得到，，再把两式左右分别相乘得到，从而得到，最后整体代入计算即可． 【解答】解：，， ，， 即，， ， 即，则， ， ． （三）利用幂的运算法则比较大小 【典例1】比较，，的大小 【解析】 解：， ， ， ． ． 【重难点剖析】 先根据幂的乘方法把每个式子转化为指数相同的式子，再根据底数的大小比较即可． 【变式一】 比较和的大小关系是    A. B. C. D. 无法判定 【分析】 本题考查了幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．根据指数和有公因数，因而把它们都化成以为指数的数，比较底数即可得到． 【解答】 解：，， 又， ， 即． 故选B．   【变式二】若，，则下列结论正确是    A. B. C. D. 【解析】 解：， ． 故选B．   【重难点剖析】 此题要灵活使用积的乘方和同底数幂的乘法的法则根据积的乘方法则将变形为，变形为，即可进行比较。 （四）整除问题 为正整数能被整除吗说明理由． 解：能被整除． 理由如下： ． 因为为正整数，所以是正整数， 所以能被整除． 【重难点剖析】 根据幂的运算对原式进行化简，使得结果中含有13这个因式即可． 1 $$