2.1椭圆课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

二 次 曲 线 第 二 单 元 二次曲线在日常生活和科学研究中经常用到.如图2-1（a）所示，行星运行的轨道为椭圆，2-1（b）所示的发电厂烟囱曲线为双曲线，2-1（c）所示的太阳灶则采用了抛物线.在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高. 引例 My First Template 引例 My First Template 椭圆 2.1 双曲线 2.2 抛物线 2.3 曲线及其方程 2.4 目录 CONTENTS 椭圆 2.1 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 1. 椭圆的定义 如图2-2所示，我们将绳子的两端固定在画板上的F1和F2两点处，并使绳长大于F1、F2的距离，用笔尖将绳子拉紧，并保持拉紧的状态，在画板上慢慢移动，观察所画出的图形. 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 从以上绘图过程中可以看出，笔尖（即M点）在移动过程中，与两个定点F1、F2的距离之和始终保持不变，即等于该绳子的长度. 所画出的图形就是椭圆.我们将平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1、F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离，即|F1F2|叫作椭圆的焦距. 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 议一议 如果把细绳的两端的距离拉大，是否还能画出椭圆？ 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 2. 椭圆的标准方程 以椭圆的焦点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2-3所示. 设点P（x，y）为椭圆上的任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），其中c>0，则|F1F2|=2c；点P到焦点F1、F2的距离的和为2a( 2a>2c>0). 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 由椭圆的定义可知 |PF1| + | PF2| = 2a, 即 通过移项、两边平方后得a2－c2x2+a2y2=a2a2－c2. 为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2=a2－c2，又因为2a > 2c >0，即a>c>0， 可得椭圆的标准方程为 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 设a2-c2=b2，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的几何性质时，还会看到其明确的几何意义. 注意 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程.它表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0），F2（c，0），其中c>0，且c2= a2-b2，我们把F1叫作椭圆的左焦点，F2叫作椭圆的右焦点. 同理，我们可以得到焦点F1，F2在y轴上的椭圆的标准方程.如图2-4所示，我们以过椭圆的焦点F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，并设F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，且c2= a2-b2，那么我们可以得到椭圆的方程为 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 我们把方程（2-2）也叫作椭圆的标准方程.它表示椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，字母a，b的意义同上，且c2= a2-b2. 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 如何推导出椭圆方程 =1（a＞b＞0)? 想一想 指出下列椭圆中a、b、c的值，并说出焦点所在的坐标轴： 解（1）因为25>16，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a2=25，b2=16，则 c2=a2-b2=25-16=9， 可求出 a=5，b=4，c=3. （2）因为169>25，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a2=169，b2=25，则 c2=a2-b2=169-25=144， 可求出 a=13，b=5，c=12. 例1 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 2.1椭圆 2.1.1椭圆的定义与标准方程 议一议 已知一个椭圆的标准方程，如何判断椭圆的焦点在x轴还是在y轴上？ 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点 求它的标准方程. 解因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 由椭圆的定义可知 所以 a=10. 又因为c=2，所以