2.2双曲线课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

二 次 曲 线 第 二 单 元 二次曲线在日常生活和科学研究中经常用到.如图2-1（a）所示，行星运行的轨道为椭圆，2-1（b）所示的发电厂烟囱曲线为双曲线，2-1（c）所示的太阳灶则采用了抛物线.在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高. 引例 My First Template 引例 My First Template 椭圆 2.1 双曲线 2.2 抛物线 2.3 曲线及其方程 2.4 目录 CONTENTS 双曲线 2.2 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 1. 双曲线的定义 上节课我们已经知道了平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹为椭圆，那么平面内到两个定点的距离之差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？它的标准方程是怎样的呢？下面我们通过一个实验——拉链实验来研究这个问题. 在画板上选取两定点F1，F2，将拉链（拉链的两边等长）拉开一段，其中一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离），而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处（点M处），于是随着拉链的逐渐打开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线；同理，将拉链的两边交换位置，可画出另外一支曲线，如图2-9所示. 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 想一想：为什么要规定移动点与两个定点的距离之差的绝对值要小于|F1F2|？ 想一想 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 从以上实验我们可以发现，笔尖（即M点）在缓慢移动过程中，与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值始终保持不变，即等于AF2. 我们将平面内与两个定点F1，F2间的距离的差的绝对值是常数（2a，a＞0且小于| F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线．其中这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距. 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 2. 双曲线的标准方程 以双曲线的焦点F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图2-10所示.设双曲线的两个焦点为F1 (-c，0)，F2（c，0），则焦距为2c（c>0）. 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 设点M（x，y）为双曲线上的任意一点，M点与两个焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a（a>0），由双曲线的定义可得 ||MF1|-|MF2||=2a. 将点M，F1，F2的坐标代入得 将上述方程化为 移项两边平方后整理得 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 两边再平方后整理得 （c2-a2）x2-a2y2=a2(c2-a2) 等式两边同时除以a2(c2-a2)，得 由双曲线的定义知道，2c>2a>0，即c>a>0，说明c2-a2>0，设b2= c2-a2（b>0），代入上式，方程可变为 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 我们把方程 =1(a＞0,b＞0)叫作双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c,0),F2(c，0)，其中，c＞0且c2=a2+b2,我们把F1叫作左焦点，F2叫作右焦点. 如果我们把双曲线与整个坐标平面绕y=x翻转180°，如图2-11（a）所示，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到焦点在y轴上的双曲线，如图2-11（b）所示.因此，在上面我们所得到的的双曲线的标准方程中，只要互换x，y，便可得到焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系? 想一想 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 方程（2-4）也叫作双曲线的标准方程，它表示双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1（0，-c），F2（0，c），其中c>0，字母a，b的意义同式（2-3）中的a,b，且c2= a2+b2. 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 求下列双曲线的焦点与焦距： 解 (1)因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a2=9,b2=16.因此 c2=a2+b2=9+16=25, 解得 c=5, 2c=10. 所以，双曲线的焦点为F1(－5,0),F2(5,0)，焦距为10. 例1 2.2双曲线 2.2.1双曲线的定义与标准方程 (2)将方程化成标准方程为 因为含x项的系数为正数，所以