2.3抛物线课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

二 次 曲 线 第 二 单 元 二次曲线在日常生活和科学研究中经常用到.如图2-1（a）所示，行星运行的轨道为椭圆，2-1（b）所示的发电厂烟囱曲线为双曲线，2-1（c）所示的太阳灶则采用了抛物线.在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高. 引例 My First Template 引例 My First Template 椭圆 2.1 双曲线 2.2 抛物线 2.3 曲线及其方程 2.4 目录 CONTENTS 抛物线 2.3 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 1. 抛物线的定义 前两节我们学习了二次曲线的椭圆和双曲线，那么平面内移动点到定点和定直线的距离相等的轨迹是怎么样的图形呢？下面我们来做一个实验. 如图2-17所示，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是直线l上的任意一点，过点H作MH⊥l，并与线段FH的垂直平分线相交于点M，当点H在直线l上运动时，点M的轨迹是什么?点M在运动的过程中满足什么条件? 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 从以上实验中，我们发现点M到直线l的距离和到顶点F的距离始终保持相等（即|MH|=|MF|）. 我们将平面内与一定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，我们称定点F为抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线. 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 2. 抛物线的标准方程 如图2-18所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系. 设点M（x，y）为抛物线上的任意一点，另设|KF|=p（p>0），则F（ ，0），l：x=- ，由抛物线的定义可得|MF|=|MN|，即 等式两边平方得 化简后得 y2=2px（p>0） （2-5） 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 式（2-5）为抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴方向，焦点是F（ ，0），准线方程为x=- .其中 p 为正常数，它的几何意义是：焦点到准线的距离. 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也会有所不同，所以抛物线的标准方程还有其他形式.如果我们把图2-18中的抛物线与整个坐标平面分别进行以下操作：（1）绕直线y=x翻转180°；（2）绕y轴翻转180°；（3）绕直线y=-x翻转180°，而仍以向右方向为x轴正方向，向上方向为y轴正方向，便可得到三种抛物线的图形及其标准方程，如表2-3所示. 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 根据表2-1中抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程的相应关系，如何判断抛物线的焦点位置和开口方向？ 想一想 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 已知抛物线的标准方程式是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程. 解 由题给条件可知p=3，故所求抛物线的焦点坐标为（ ,0），准线方程为x=－ . 例1 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标为F（-3，0）； （2）准线方程为y=8. 解 （1）因为 =3,所以p=6. 因抛物线的焦点在x轴负半轴上，所以它的标准方程为 y2=-12x. (2)因为 =8,所以p=16. 因抛物线的准线在y轴正半轴上，所以它的标准方程为 x2=-32y. 例2 2.3抛物线 2.3.1抛物线的定义和标准方程 做一做 1. 已知抛物线的标准方程是(1)y2=12x；(2)y＝12x2，求它们的焦点坐标和准线方程. 2. 已知抛物线经过点P(4，-2)，求抛物线的标准方程. 3. 已知抛物线的焦点坐标为F(0，-2)，求它的标准方程. 2.3抛物线 2.3.2抛物线的性质 根据抛物线的定义我们得到了四种情况下抛物线的标准方程，以y2=2px（p>0）（见图2-19）为例我们来研究抛物线的性质. 1. 图形中x，y的取值范围 从抛物线的标准方程中我们可以得到不等式 y2≥0，p>0 即x≥0，y∈R. 从图2-19可以看出，抛物线位于x轴的正半轴方向，而且|