2.4曲线及其方程课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

曲线及其方程 2.4 2.4曲线及其方程 2.4.1曲线的方程 在前面学过的知识里，我们知道，在平面直角坐标系中一条直线可以用含有x和y的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为零)来表示．反过来，一个二元一次方程Ax+By+C=0的图形在平面直角坐标系中是一条直线． 下面我们进一步研究一般平面曲线和方程的关系． 2.4曲线及其方程 2.4.1曲线的方程 如图2-23所示，函数y=x的图像是第一、三象限角平分线，即第一、三象限角平分线的方程是x-y=0.就是说，如果点M(x0，y0)是这条直线上任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标(x0，y0)是方程x-y=0的解;反过来，如果(x0，y0)是方程x-y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条平分线上. 2.4曲线及其方程 2.4.1曲线的方程 又如图2-24所示，函数y=x2的图像是关于y轴对称、开口向上的抛物线.这条抛物线是由所有以方程y=x2的解为坐标的点组成的，这就是说，如果M(x0，y0)是抛物线上的点，那么(x0，y0)一定是方程y=x2的解；反过来，如果(x0，y0)是方程y=x2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上． 2.4曲线及其方程 2.4.1曲线的方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 由曲线的方程的定义可知，如果曲线C的方程是f(x，y)=0，那么点P0(x0，y0)在曲线C上，且满足f(x0，y0)=0．反之亦然． 由于曲线与方程之间具有这样的对应关系，因此我们可以用代数的方法来研究几何问题． 判断点A(-3，7)和B(8，-6)是否在曲线x2+y2=100上． 解 把点A的坐标代入所给方程，得 (-3)2+72=58≠100， 这就是说，点A的坐标不满足所给方程，所以点A(-3，7)不在曲线x2+y2=100上； 把点B的坐标代入所给方程，得 82+(-6)2=100， 这就是说，点B的坐标满足所给方程，所以点B(8，-6)在曲线x2+y2=100上． 例1 2.4曲线及其方程 2.4.1曲线的方程 下面我们讨论根据条件求曲线的方程． 设A，B两点的坐标是A(-2，6)，B(4，2)，求线段AB的垂直平分线的方程． 解 设M(x，y)是线段AB的垂直平分线上任意一点(如图2-25所示)，依题意得 ｜MA｜=｜MB｜， 根据两点间的距离公式，得 化简，得 3x-2y+5=0． 可以证明以方程的解为坐标的点都在线段AB的垂直平分线上(证明过程略)． 例2 2.4曲线及其方程 2.4.2求曲线的方程 2.4曲线及其方程 2.4.2求曲线的方程 除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可省略不写，如有特殊情况，可适当给予证明. 注意 由上面例子可以看出，由已知条件求曲线方程的一般步骤如下： (1)建立适当的直角坐标系，并设M(x，y)为曲线上任意点(动点)； (2)根据已知条件写出动点所满足的等量关系式； (3)用动点的坐标x和y(流动坐标)之间的关系式表示上述条件，即得方程； (4)将方程化简； (5)证明化简后的方程为曲线的方程． 2.4曲线及其方程 2.4.2求曲线的方程 两个定点A，B之间距离为2r，动点M与A，B两点的连线段互相垂直，求动点M的轨迹方程． 解 取点A，B所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系(见图2-26)，则A点坐标为(-r，0)，B点坐标为(r，0)． 例3 2.4曲线及其方程 2.4.2求曲线的方程 设动点M的坐标为(x，y)，由题意知MA⊥MB，即△ABC是直角三角形．由勾股定理，得 ｜MA｜2+｜MB｜2=｜AB｜2. 由两点间的距离公式，得 化简得动点M的轨迹方程为 x2+y2