3.1排列课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

概率与统计 第 三 单 元 某中等职业学校举行“迎新杯”足球比赛，共有12支队伍参赛，根据学校校历，最多可以安排40场比赛，要决出前3名，如何安排比赛场次更合理呢？ 负责赛事组织的老师们决定采用分两阶段，以循环赛的方式来安排比赛.第一阶段将12支队伍分成3组，每组4支队伍，分别进行单循环，每组取前两名，也就是共6支队伍进入下一阶段的比赛.在第二阶段，晋级的6支队伍进行单循环，这样就可以决出前3名了.如图3-1所示. 引例 My First Template 在第一阶段中需要赛3× =18场，在第二阶段需要赛 =15场，这样全部比赛共18+15=33场，没有超过场次限制. 引例 My First Template 排列 3.1 组合 3.2 二项式定理 3.3 离散型随机变量及其分布 3.4 目录 CONTENTS 二项分布 3.5 正态分布 3.6 排列 3.1 3.1排列 3.1.1排列的定义 我们先看这样一个问题：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 解决这个问题需分两个步骤：第一步，先确定1名参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种选法；第二步，确定1名参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法，如图3-2所示. 3.1排列 3.1.1排列的定义 在基础模块中我们已经学习了两个基本原理及基本原理的简单应用： （1） 分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法. （2） 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法. 3.1排列 3.1.1排列的定义 要完成的“一件事”是从3人中选出2人，分上午和下午参加活动.因此根据分步乘法计数原理，上面问题共有3×2=6种不同的方法，如图3-3所示. 3.1排列 3.1.1排列的定义 我们把上面问题中被选取的对象（比如说同学）叫作元素.上述问题的实质是：从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排法. 再看第二个问题：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 这里要完成的“一件事”是从4个数字中选3个排成一个三位数.解决这个问题，需分三步骤： 3.1排列 3.1.1排列的定义 第一步，确定百位上的数字，在1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第二步，确定十位上的数字，从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第三步，确定个位的数字，只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.如图3-4所示. 3.1排列 3.1.1排列的定义 因此根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法，如图3-5所示. 3.1排列 3.1.1排列的定义 可得到的所有三位数为 123，124，132，134，142，143； 213，214，231，234，241，243； 312，314，321，324，341，342；412，413，421，423，431，432. 上述问题二的实质是：从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 排列的定义包括两个方面：① 元素不能重复；② “按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键. 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素（这里的被取元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列. 3.1排列 3.1.1排列的定义 根据排列的定义，当且仅当两个排列的元素完全相同，元素的排列顺序也相同时，两个排列才相同. 问题一中是求从3个不同的元素中任取2个元素的排列数，记为 ；我们已经计算得出 =3×2=6. 问题二中是求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数，记为 ；我们已经计算得出 =4×3×2=24. 做一做 1. 判断下列问题是否是排列： （1） 从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？ （2） 从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？ （3） 从1到10