3.2组合课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

组合 3.2 3.2组合 3.2.1组合的定义 上节课我们学习了从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有P23=3×2=6种不同的选法.那么从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法呢？下面我们来研究一下这个问题. 通过题意我们知道共有3种选法，分别为甲、乙；甲、丙；乙、丙3种组合，本质上是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素，并成一组，和顺序无关，我们称之为组合. 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不管顺序怎样都并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 3.2组合 3.2.1组合的定义 组合的定义包含两个方面：① 组合与元素的顺序无关，② 两个组合的元素完全相同为相同组合. 结合排列的定义，我们可以看出组合与排列的共同点是：“从n个不同元素中，任取m个元素”，即“取元素”这点是相同的；区别 是排列要求在取出元素后“按照一定的顺序排成一列”， 即与顺序有关，组合要求取出元素后，“不管顺序怎样都并成一组”， 即与顺序无关.也就是说，对于取出的m个元素，如果只改变它们之间的相对位置，而不改变元素本身，那么对于排列来说它们是不同的排列，对于组合来说他们却是同一个组合. 3.2组合 3.2.1组合的定义 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢? 议一议 3.2组合 3.2.2组合数计算公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 来表示. 例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为 ；我们已经知道 =3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数Cmn是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式. 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下步骤： 3.2组合 3.2.2组合数计算公式 第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数 根据分步乘法计数原理，可得 结合公式（3-4），可得 式（3-5）叫作组合数公式，其中，n，m∈N，并且m≤n.为了保证m=n时，公式（3-5）有意义，我们规定 计算. 例1 3.2组合 3.2.2组合数计算公式 3.2组合 3.2.2组合数计算公式 做一做 1. 计算. 2. 判断下列问题是组合问题还是排列问题? （1） 某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？ （2） 10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? 3.2组合 3.2.2组合数计算公式 做一做 （3） 从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? （4） 10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? 3. 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合. 4. 求证: 由组合数公式，我们计算出 这不是巧合.事实上，从8个元素中取出6个元素后，恰好剩余2个元素.因此，从8个元素中取出6个元素的一个组合，与从8个元素中取出2个舍弃元素的组合是一一对应的.一般地，有 性质1 在组合数计算中，当m> 时，将 换成 ，可以简化计算. 3.2组合 3.2.3组合数的两个性质 计算. 例3 3.2组合 3.2.3组合数的两个性质 这个结果可理解为从含a的10个元素中取8个元素的组合可分两类：第一类，含元素a的组合有 个；第二类，不含元素a的给合有 个.于是， 一般有 性质2 计算. 例3 3.2组合 3.2.3组合数的两个性质 证明： 例4 3.2组合 3.2.3组合数的两个性质 在100件产品中，有90件合格品，10件次品.从这100件产品中任意取出3件. （1） 共有多少种不同的取法？ （2） 取出的3件中恰有1件是次品的取法有多少种？ （3） 取出的3件产品中至少有1件是次品的取法有多少种？ 解 (1) 从100件产品中任意取出3件的不同取法有 例5 3.2组合 3.2.4组合的应用 （2） 分两步来完成：第一步，从10件次品中取出1件，有 种方法；第二步，从90件合格品中取出2件，有 种方法.由分步乘法计数原理，取出的3件中恰有1件是次品的取法共有 (3) 利用剔除法：“从100件产品中任意取出3件”的所有组合中剔除“取出的3件都是合格品”的组合.至少有一件是次品的取法有 例5 3