3.3二项式定理课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

二项式定理 3.3 3.3二项式定理 我们知道 (a+b)1=a+b, (a+b)2=a2+2a1b1+b2, 观察上面两个乘法公式的展开式中各项的系数有什么规律呢？下面我们通过计算(a+b)4来研究这个问题. 先将(a+b)4看作4个(a+b)的乘积，即 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b). 显然，等号右边的乘积的展开式中的每一项都是从每个括号中任取一个字母的乘积，因此各项均为4次式，展开式中所含字母的形式分别为 a4，a3b，a2b2，ab3，b4. 3.3二项式定理 那么上面5项在展开式中的系数，即在展开式中出现的次数是多少呢？ 在上面的4个(a+b)中有 每个括号中都不取b的情况有一种，即 种，则a4的系数为 只有一个括号中取b的情况有 种，则a3b的系数为 ； 只有两个括号中取b的情况有 种，则a2b2的系数为 ； 只有三个括号中取b的情况有 种，则ab3的系数为 ； 四个括号都取b的情况的有 种，则b4的系数为 . 3.3二项式定理 将各项对应的系数代入展开式中，则得到 一般地，对于任意正整数n，有 3.3二项式定理 式（3-8）为二项式定理公式，其中a、b为任意实数.等号右边的多项式叫作（a+b)n的二项展开式，共有n+1项，其中a的指数按降幂排列，b的指数按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n，每项的系数 （m=0,1,2，…，n）叫作二项式系数，公式中的 为展开式的第m+1项，叫作二项式的通项，用Tm+1表示，则有 3.3二项式定理 应用二项式定理公式时，a与b能不能交换位置，且（a+b)n的第m+1项和（b+a)n的第m+1项相同吗？ 想一想 3.3二项式定理 我国宋朝时期著名的数学家和数学教育家杨辉，于1261年在《详解九章算法》一书中提出的三角数表，称之为“杨辉三角”，即为多项式（a+b)n展开后的各个项的二项式系数的规律，如图3-8所示. 3.3二项式定理 从图3-8中我们可以看出二项式系数有如下规律： （1） 图中每行两端都是1，即 （2） 从第三行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和，即 （3） 对称性：每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等，即 （4） 增减性与最大值：当二项式（a+b）n幂指数的n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大且相等. 3.3二项式定理 令式（3-8）中的a=b=1时，则 这也就是说，（a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，另外由于 =1，因此上式还可以写成 式（3-8）叫作组合总数公式. 3.3二项式定理 注意某项（a+b)n的二项式系数和项的系数的区别，这是两个不同的概念，“二项式系数”仅指 这些组合数而言，不包括字母a、b所表示式子中的系数，而对应的项的系数不仅与 有关，也与a、b的值有关. 注意 写出（a+b）6的展开式. 所以 例1 3.3二项式定理 求（x-3）15的二项展开式中x7的系数. 解 （x-3）15的展开式的通项公式为 由于15-m=7，得m=8，即二次展开式中含x7的项为第9项，故该项的系数为 例2 3.3二项式定理 求（x+a）11的二项展开式中的倒数第5项. 解 （x+a）11的二项展开式共有12项，因此倒数第5项式展开式中的第8项.展开式的第8项通项公式为 例3 3.3二项式定理 3.3二项式定理 做一做 1. 求下列各式的展开式： （1） （1+x）7； （4） (x+y)5. 2. 求（1-2x）6的展开式中的第4项. $$