3.6正态分布课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

正 态 分 布 3.6 3.6正 态 分 布 为了了解学校男生的身体发育情况，从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm）： 3.6正 态 分 布 根据之前学到的知识，将这些数据绘制频率分布直方图，如图3-9所示. 3.6正 态 分 布 由图3-9可以看出，上述数据的分布呈中间高，两边低，左、右大致对称的特点. 可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线y=P(x)，我们将此曲线称为概率密度曲线，表示分布总体在所有取值范围内的取值概率.例如，上述所有男生身高数据以组距d=1作频率分布直方图，如图3-10所示，其顶边形成的曲线相对于以组距d=4的频率分布直方图顶边形成的曲线较圆滑.我们把这条曲线叫作概率密度曲线. 3.6正 态 分 布 图3-10中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线，我们将其称为“正态密度曲线”，它的函数表达式是 3.6正 态 分 布 其中，μ和σ为式（3-13）的两个参数，平均值μ表明了正态密度曲线总体的中心所在，标准差σ表明了曲线总体的离散程度，其中σ>0，μ∈R，因此不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线，如图3-11所示. 3.6正 态 分 布 正态密度曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线. 注意 3.6正 态 分 布 由图3-11可观察出正态密度曲线具有如下的特征： (1) 当x=μ时曲线位于最高点，当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近，曲线在x轴上方，与x轴不相交； (2) 曲线关于直线x=μ对称； (3) 当μ一定时，曲线的形状由σ确定,σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡，如图3-11（d）所示； (4) 不论μ和σ取何值，在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1. 3.6正 态 分 布 若X是一个随机变量，对任意区间（a,b］内取值的概率P(a<x≤b)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a,b］上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X~N(μ,σ2)，此时随机变量X的概率密度曲线又称为正态曲线.事实上，μ就是随机变量X的均值，σ2就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度. 当μ＝0，σ＝1时，我们将正态分布N(0,1)称为标准正态分布，即X~N（0，1）.通过查标准正态分布表（见附表）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率，其函数表达式为 3.6正 态 分 布 式（3-14）相对应的曲线称为标准正态曲线，如图3-12所示. 3.6正 态 分 布 设变量X~N（0，1），由概率密度曲线的定义可以证明，任给区间（b,+∞)内P（X>b）的取值为曲线与x轴之间，直线x=b右侧部分的图形的面积.那么对于给定区间（a，b）内P(a<x<b)的取值恰好是正态曲线下方与直线x=a和x=b之间所围成的图形的面积，即 P(a<x<b)=P(X<b)－P(X<a). （3-15） 对于P（x<a）和P（x<b）可以通过附表1“标准正态分布表”查出，表中与a或b对应的Φ（a）、Φ（b）就是随机变量X小于a和b的概率，即 Φ（x0）= P（x<x0）. 因此，当变量X~N（0，1）时，也可以将公式（3-15）变形为 P(a<x<b)=Φ(b)－Φ(a). （3-16） 3.6正 态 分 布 由于在标准正态分布表中只给出了非负值x0的值Φ（x0），但是在实际计算中，我们常常会遇到x0<0的情况，根据标准正态曲线的定义，我们知道其关于y轴对称，即正态曲线与x=x0直线右侧和x=-x0左侧所围成的面积相等，如图3-13所示. 3.6正 态 分 布 由此可知Φ（x0）+Φ（-x0）=1，即 Φ（-x0）=1-Φ（x0）. （3-17） 标准正态分布N（0，1）在正态分布的研究中占有重要地位.但由于正态分布中有两个参数μ和σ，当给定一对不同的μ和σ时，就会有一个不同的正态分布，显然不可能对所有不同的μ和σ都编制对应的正态分布表，因此，当X~N(μ,σ2)时，我们可以使用 (3-18) 将其