1.1 两角和的余弦公式与正弦公式课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

第1章 三角计算及其应用 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 1.2 正弦型函数y=Asin(ωx+φ) 1.3 正弦定理与余弦定理 1.4 生产、生活中的三角计算及 引 例 某市为了建设跨河大桥，需要测量河两岸两桥基A与B点的距离，测量人员在A点所在一侧选择C点，测得BC长为45 m，又测得∠BAC=45°，∠ACB=75° .根据以上的信息，如何求出A,B两点的距离. ， 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 1.1.1 两角和的余弦公式 我们知道： cos 60°= ,cos 30°= ，cos 60°+cos 30°= ， cos(60°+30°)=cos 90°=0， 显然 cos 60°+cos 30°≠cos(60°+30°)， 由此可知，一般情况下cos(α+β )≠cos α+cos β.那么，cos(α+β )与α,β 的三角函数值到底有什么关系呢？如何计算cos(α+β )的值呢？下面我们来讨论这个问题. 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 如图1-1所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α,β.为简单起见，我们先假定α,β 均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cos α,sin α )，点C的坐标为(cos β,－sin β )，因此向量=(cosα,sin α )，向量=(cos β,－sin β ),且=1, =1，于是 · = · ·cos(α+β )=cos(α+β )， 又由于 · =（cos α，sin α ）·（cos β,-sin β ）=cos α cos β－sin α sin β， 1.1.1 两角和的余弦公式 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 图1-1 所以 cos(α+β )=cos α cos β－sin α sin β. 由此，我们得到了两角和的余弦公式 cos(α+β )=cos α cos β－sin αsin β.（1-1） 式（1-1）反映了α+β 的余弦函数值与α,β 的三角函数值之间的关系. 1.1.1 两角和的余弦公式 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 当α,β为任意角时，式（1-1）仍然成立，同学们可以通过锐角情况下的结论，利用三角函数的诱导公式来证明. 注意 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 将式（1-1）中的β 换成－β，则有 cos(α－β )=cos［α+(－β )］ =cos α cos(－β )－sin α sin(－β ) =cos α cos β+sin α sin β. 由此，我们得到了两角差的余弦公式 cos(α－β )=cos α cos β+sin α sin β. （1-2） 式（1-2）反映了α－β 的余弦函数值与α,β 的三角函数值之间的关系. 1.1.1 两角和的余弦公式 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 例1 求cos 75°的值. 解 将75°看成是30°与45°的和，利用式（1-1）得 cos 75°=cos(30°+45°) =cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45° = × －× = . 1.1.1 两角和的余弦公式 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 例2 求cos 15°的值. 解 将15°看成是45°与30°的差，利用式（1-2）得 cos 15°=cos(45°－30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° = × + × = . 1.1.1 两角和的余弦公式 1.1 两角和的余弦公式与正弦公式 例3 设cos α=,cos β= ，并且α 和β 都是锐角，求cos(α+β )的值. 解 可利用式（1-1）来进行求解，但首先应求出sin α,sin β 的值. 因为cos α=,cos β= ，并且α 和β 都是锐角，所以 sin α== ,sin β== ， 因此，利用式（1-1）得 cos