1.1两角和与差的三角函数公式课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

三角公式及应用 第 一 单 元 刘徽的《海岛算经》中列有“海岛测望”一题：如图1-1，有人望海岛AB，立两个高为3丈的标杆CD与EF，其距离为1 000步，并且两个标杆的上下两端在同一水平线上.从标杆CD退行123步，海岛峰顶A 、标杆上端C与G点共线.从标杆EF退行127步，海岛峰顶A 、标杆上端E与H点共线.问海岛的高度AB及海岛与标杆的距离BD各是多少? 引例 My First Template 两角和与差的三角函数公式 1.1 二倍角的三角函数公式 1.2 三角函数的积化和差与和差化积 1.3 正弦型函数 1.4 目录 CONTENTS 正弦定理与余弦定理 1.5 两角和与差的三角函数公式 1.1 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.1两角和与差的余弦公式 我们知道： cos 30°= cos 60°= cos 30°+cos 60°= cos(30°+60°)=cos 90°=0， 显然 cos 30°+cos 60°≠cos(60°+30°). 由此可知，一般情况下，对于任意两个角α，β，cos(α+β)≠cos α+cos β.那么，cos(α+β)与cos α,cos β到底有什么关系呢？ 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.1两角和与差的余弦公式 注意 设向量a=(x1,y2),b=(x2,y2)，且<a,b>=θ，则a·b=|a|·|b|·cos θ，又由于a·b=x1x2+y1y2，则|a|·|b|·cos θ=x1x2+y1y2. 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.1两角和与差的余弦公式 图1-2 如图1-2所示，设∠BOA,∠COA的大小分别为α,β.为简单起见，我们先假定α,β均为锐角.以OA为始边，记∠BOA,∠COA的终边分别与单位圆的交点为B,C.点B的坐标为(cos α,sin α)，点C的坐标为(cos β,－sin β)，因此，向量 =(cos α,sin α)，向量 =(cos β,－sin β),且 =1, =1，于是 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.1两角和与差的余弦公式 cos(α+β)=cos(α+β)， 又由于 =（cos α，sin α）·（cos β,-sin β） =cos αcos β－sin αsin β， 所以 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β. 由此，我们得到了两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β.（1-1） 此式反映了α+β的余弦与α、β的正弦、余弦之间的关系.因此，公式（1-1）称为两角和的余弦公式. 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.1两角和与差的余弦公式 将式（1-1）中的β换成－β，则有 cos(α－β)=cos ［α+(－β)］ =cos αcos(－β)－sin αsin(－β) =cos αcos β+sin αsin β. 由此，我们得到了两角差的余弦公式 cos(α－β)=cos αcos β+sin αsin β. （1-2） 此式反映了α－β的余弦与α，β的正弦、余弦之间的关系.因此，公式（1-2）称为两角差的余弦公式. 式（1-1）与式（1-2）统称为两角和与差的余弦公式. 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.1两角和与差的余弦公式 不用计算器，求cos 75°和cos 15°的值. 解（1）将75°看成是30°与45°的和，利用式（11）得 cos 75°=cos(30°+45°) =cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45° （2）将15°看成是45°与30°的差，利用式（1-2）得 cos 15°=cos(45°－30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° 例1 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.1两角和与差的余弦公式 例1是否还有别的解法？ 想一想 1.1两角和与差的三角函数公式 1.1.