1.2二倍角的三角函数公式课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

三角公式及应用 第 一 单 元 刘徽的《海岛算经》中列有“海岛测望”一题：如图1-1，有人望海岛AB，立两个高为3丈的标杆CD与EF，其距离为1 000步，并且两个标杆的上下两端在同一水平线上.从标杆CD退行123步，海岛峰顶A 、标杆上端C与G点共线.从标杆EF退行127步，海岛峰顶A 、标杆上端E与H点共线.问海岛的高度AB及海岛与标杆的距离BD各是多少? 引例 My First Template 两角和与差的三角函数公式 1.1 二倍角的三角函数公式 1.2 三角函数的积化和差与和差化积 1.3 正弦型函数 1.4 目录 CONTENTS 正弦定理与余弦定理 1.5 二倍角的三角函数公式 1.2 1.2二倍角的三角函数公式 以两角和与差的三角函数公式为基础，可以推导出用角α的三角函数值表示角2α的三角函数的公式. 在式（1-1）中，令α=β，就可以得到二倍角的余弦公式： cos 2α=cos(α+α)=cos αcos α－sin αsin α =cos2α－sin2α. 即 cos 2α=cos2α－sin2α. （1-7） 同理，在式（1-3）中，令α=β，就可以得到二倍角的正弦公式: in 2α=2sin αcos α. （1-8） 因为sin2α+cos2α=1，所以式（1-7）又可以写为 cos 2α=2cos2α－1， （1-9） cos 2α=1－2sin2α， （1-10） 1.2二倍角的三角函数公式 则还可以得到下列公式： 在式（1-5）中，令α=β,就可以得到二倍角的正切公式： 式（1-7）~式（1-13）反映出具有二倍角关系的角的三角函数之间的关系，在三角计算中有着广泛的应用. 1.2二倍角的三角函数公式 已知cos α=－ 且 求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 解因为α∈ 所以 利用式（1-8）可得 sin 2α=2sin αcos α=2× 利用式（1-9）可得 cos 2α=2cos2α－1=2× 则 例1 1.2二倍角的三角函数公式 不用计算器,求下列各式的值： （1） sin 15°cos 15°； （2） 2sin222.5°－1. 解（1） sin 15°cos 15°= ×(2sin 15°cos 15°) = sin(2×15°)= sin 30°= （2） 2sin222.5°－1=－(1－2sin222.5°)=－cos(2×22.5°) =－cos 45°=－ 例2 1.2二倍角的三角函数公式 已知cos =－ 且α∈(π,2π)，求sin α和cos 的值. 解 与α， 与 之间都是具有二倍关系的角，故可以使用二倍角公式来计算. 由α∈(π,2π)可知α2∈ 所以 例3 故 1.2二倍角的三角函数公式 例4 1.2二倍角的三角函数公式 做一做 1. 根据二倍角公式，完成下列各题： （1） sin 6α=2sin()cos()； （2） sin α=2sin()cos(). 2. 已知sin α= 且α是第一象限的角，求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 3. 已知tan 2α= 求tan α的值. $$