1.3三角函数的积化和差与和差化积课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

三角公式及应用 第 一 单 元 刘徽的《海岛算经》中列有“海岛测望”一题：如图1-1，有人望海岛AB，立两个高为3丈的标杆CD与EF，其距离为1 000步，并且两个标杆的上下两端在同一水平线上.从标杆CD退行123步，海岛峰顶A 、标杆上端C与G点共线.从标杆EF退行127步，海岛峰顶A 、标杆上端E与H点共线.问海岛的高度AB及海岛与标杆的距离BD各是多少? 引例 My First Template 两角和与差的三角函数公式 1.1 二倍角的三角函数公式 1.2 三角函数的积化和差与和差化积 1.3 正弦型函数 1.4 目录 CONTENTS 正弦定理与余弦定理 1.5 三角函数的积化和差与和差化积 1.3 1.3三角函数的积化和差与和差化积 观察下列两角和与差的正弦公式： sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 两式相加得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 即 sin α cos β=12［sin(α+β)+sin(α-β)］. 1.3三角函数的积化和差与和差化积 同理，可得到 通过公式（1-14），三角函数由积的形式转化成了和或差的形式，因此，我们称其为积化和差公式. 1.3三角函数的积化和差与和差化积 你能发现哪里运用了换元的思想吗？试着说一说换元的好处? 想一想 1.3三角函数的积化和差与和差化积 若令α+β=θ,α-β=φ,则α= 将其代入公式（1-14）中，可得 = (sinθ+sinφ), 即 sin θ+sin φ=2sin 1.3三角函数的积化和差与和差化积 同理，可得到 通过公式（1-15），三角函数由和或差的形式转化成了积的形式，因此，我们称其为和差化积公式. 公式（1-14）和公式（1-15）的发现，实现了三角函数积的形式与和或差的形式的相互转化，为我们以后的计算和研究提供了方便. 1.3三角函数的积化和差与和差化积 把下列各式化成积的形式： （1） cos 3α+cos α；(2) 1+sin 2α. 解 (1) cos 3α+cos α=2cos =2cos 2αcos α. （2） 1+sin 2α=sin2α+cos2α+2sin αcos α =(sin α+cos α)2. 例1 1.3三角函数的积化和差与和差化积 （半角公式）求证： 证明 (1)由cos 2α=1-2sin2α得 cos α=1-2sin2 即 所以 例2 1.3三角函数的积化和差与和差化积 （2）由cos 2α=2cos2α-1得 cos α=2cos2 -1, 即 所以 例2 两边分别相除，得 所以 1.3三角函数的积化和差与和差化积 做一做 1. 把下列各式化成和或差的形式： （1） 2sin 64°cos 10°; (2) 2sin 84°cos 132°. 2. 把下列各式化成积的形式： （1） sin 54°+sin 22°; (2) sin 5α-sin 3α. $$