1.4正弦型函数课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

三角公式及应用 第 一 单 元 刘徽的《海岛算经》中列有“海岛测望”一题：如图1-1，有人望海岛AB，立两个高为3丈的标杆CD与EF，其距离为1 000步，并且两个标杆的上下两端在同一水平线上.从标杆CD退行123步，海岛峰顶A 、标杆上端C与G点共线.从标杆EF退行127步，海岛峰顶A 、标杆上端E与H点共线.问海岛的高度AB及海岛与标杆的距离BD各是多少? 引例 My First Template 两角和与差的三角函数公式 1.1 二倍角的三角函数公式 1.2 三角函数的积化和差与和差化积 1.3 正弦型函数 1.4 目录 CONTENTS 正弦定理与余弦定理 1.5 正弦型函数 1.4 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 我们已经学习了正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x.在物理学和电学中，我们经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数，这类函数称为正弦型函数.它与正弦函数y=sin x有着密切的关系. 我们先来讨论正弦型函数的周期. 在正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，令z=ωx+φ，则 y=Asin(ωx+φ)=Asin z. 我们已经知道正弦函数y=sin x的定义域为R，周期为2π，值域为［－1,1］.因此,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的定义域为R，并且 y=Asin(ωx+φ)=Asin z=Asin(z+2π) =Asin［(ωx+φ)+2π］=Asin 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 即Asin(ωx+φ)=Asin (A>0,ω>0). 设f(x)=Asin(ωx+φ)，则f(x)=f 因此，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)也是周期函数，其周期为T= 由于正弦函数y=sin x的值域为［－1,1］，所以y=Asin z(A>0)的值域为［－A,A］，即正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值为A，最小值为－A. 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 综上所述，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)主要有以下性质： （1）定义域为R； （2）周期为T= （3）值域为［－A,A］，即最大值为A，最小值为－A. 求正弦型函数y=sin 和y= 的周期. 解 根据正弦型函数的周期公式T= 可知y=sin 的周期为 的周期为 例1 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 求函数y=4sin 的周期和最大值、最小值，并求在什么情况下函数取得最大值和最小值. 解 根据正弦型函数的性质，我们可得函数y=4sin 的周期为 设z=2x+ 则x= 所以 当z=2kπ+ (k∈Z),即x=kπ+ (k∈Z)时，函数y=4sin z有最大值，最大值为4； 例2 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 当z=2kπ－ (k∈Z),即x=kπ－ (k∈Z)时，函数y=4sin z有最小值，最小值为－4. 综上，当x=kπ+ (k∈Z)时，函数y=4sin 取得最大值4；当x=kπ－ (k∈Z)时，函数y=4sin 取得最小值－4. 例2 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 求函数y=cos x+sin x的最大值和最小值. 解 由公式（1-3）有 y=cos x+sin x= 故函数y=cos x+sin x的最大值为 最小值为－ 一般地，研究函数y=asin x+bcos x(a>0,b>0)时，首先要把函数转化为正弦型函数y=Asin(x+θ)的形式.如图1-6所示，考察以(a,b)为坐标的点P，设以OP为终边的角为θ，则 例3 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 于是 asin x+bcos x 例3 1.4正弦型函数 1.4.1正弦型函数的概念和性质 即