1.5正弦定理与余弦定理课件-2023-2024学年高二上学期中职数学(同济大学出版社）拓展模块

三角公式及应用 第 一 单 元 刘徽的《海岛算经》中列有“海岛测望”一题：如图1-1，有人望海岛AB，立两个高为3丈的标杆CD与EF，其距离为1 000步，并且两个标杆的上下两端在同一水平线上.从标杆CD退行123步，海岛峰顶A 、标杆上端C与G点共线.从标杆EF退行127步，海岛峰顶A 、标杆上端E与H点共线.问海岛的高度AB及海岛与标杆的距离BD各是多少? 引例 My First Template 两角和与差的三角函数公式 1.1 二倍角的三角函数公式 1.2 三角函数的积化和差与和差化积 1.3 正弦型函数 1.4 目录 CONTENTS 正弦定理与余弦定理 1.5 正弦定理与余弦定理 1.5 1.5正弦定理与余弦定理 在计算卫星的角度和高度，测量河流两岸码头之间的距离，确定待建隧道的长度时，我们都离不开三角形的边角关系，本节将学习正弦定理和余弦定理来求解三角形，以及解决实际测量中的一些问题. 如图1-12所示，在Rt△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，由 则得 所以 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 根据直角三角形的面积公式得 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 那么，在任意三角形中，是否也存在类似的数量关系呢？ 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 如图1-13所示，在锐角三角形ABC中，作CD⊥AB，则CD=bsin A，CD=asin B，于是bsin A=asin B，即 同理,过三角形的顶点B作AC的垂直线，可得 因此 由于CD=bsin A=asin B，所以 同理可得S△ABC= 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 如图1-14所示，在钝角三角形ABC中，设∠C为钝角，作BD⊥AC延长线于D，则BD=csin A,BD=asin(180°－C)=asin C.同样可以得到 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 由于BD=csin A=asin C，所以 S△ABC= ×AC×BD= bcsin A= absin C， 同理可得S△ABC= acsin B. 这就是说，对于任意一个三角形， 均成立，因此我们得到下面的正弦定理. 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 正弦定理：在任意一个三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等，即 同时，我们也得到了计算三角形面积的另一种表达形式： 利用正弦定理可以解决下列两类解三角形的问题： （1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和另一个角. （2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和另一条边. 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误. 注意 在△ABC中，已知b=20,∠A=45°,∠B=120°，求a. 解根据正弦定理有 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 例1 已知在△ABC中，∠A=30°,a=152,b=30，求∠B. 解根据正弦定理有 再由b>a知∠B>∠A，故30°<∠B<180°，所以∠B=45°或∠B=135°. 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 例2 在△ABC中，已知∠B=60°,∠C=15°,a=3+1，求b,c,S△ABC的值. 解 由三角形的内角和为180°可知∠A+∠B+∠C=180°，则 ∠A=180°－∠B－∠C=180°－60°－15°=105°. 根据正弦定理 可得 所以三角形的面积为 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 例3 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 如无特殊说明：本单元中出现的a,b,c均为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边. 注意 在△ABC中，已知tan A∶tan B=a2∶b2，试判断△ABC的形状. 解 根据三角函数定义和正弦定理. tan A∶tan B=a2∶b2可以变形为 因为A，B均为△ABC的内角，故sin A≠0,sin B≠0. 于是，上式可化简为 sin A·cos A=sin B·cos B. 1.5正弦定理与余弦定理 1.5.1正弦定理 例4 由二倍角公式得 即 sin2A=sin 2B. 因此2A=2B或2A+2B=π. 即