第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用-（配套课件）【高中快车道】2023-2024学年高中数学选择性必修一配套课件PPT（人教A版2019）

1.4空间向量的应用 课时10 用空间向量研究距离、夹角问题（2） 学习目标 课程目标 学科核心素养 学会用空间向量的方法求直线与直线所成的角 通过用空间向量的方法研究直线与直线所成的角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 学会用空间向量的方法求直线与平面所成的角 通过用空间向量的方法研究直线与平面所成的角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 学会用空间向量的方法求平面与平面的夹角 通过用空间向量的方法研究平面与平面的夹角,培养直观想象、逻辑推理与数学抽象素养 情境导学 日晷(图1)是我国古代用来测定时间的仪器,它是利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为),地面上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成的角,点处的水平面是指过点且与垂直的平面.在点处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点处的纬度为北纬40°,则晷针与点处的水平面所成角为多少?在空间中,常见的角有哪些?怎样求出空间的这些角呢? 初探新知 【活动1】 通过直线的方向向量及向量夹角公式求两条异面直线所成的角 问题1 在立体几何中是怎样定义两条异面直线所成的角的?两条异面直线所成的角的范围是什么? 问题2 如图2,已知两条异面直线的方向向量为,直线的方向向量为,两条异面直线和所成的角与其方向向量有何关系呢? 问题3 如何用空间向量法求两条异面直线所成的角的大小呢? 初探新知 【活动2】 通过直线的方向向量和平面的法向量及夹角公式求直线与平面所成的角 问题4 在立体几何中是怎样定义直线与平面所成的角的?直线和平面所成的角的范围又是什么呢? 问题5 你能用空间向量的方法求直线与平面所成的角吗?如何求呢? 初探新知 问题7 怎样定义平面与平面的夹角呢?平面与平面的夹角的范围是什么? 【活动3】 通过平面的法向量及向量的夹角公式求平面与平面的夹角 问题6 在立体几何中是怎样定义平面与平面所成的角的?平面与平面所成的角的范围是什么? 问题8 你能用空间向量的方法求出平面与平面的夹角的大小吗?怎么求呢? 知识梳理 1. 用空间向量的方法求两条异面直线所成的角:若异面直线和所成的角为,其方向向量分别是,,则. 2. 用空间向量的方法求直线与平面所成的角:设直线与平面所成的角为,且直线的方向向量为,平面的法向量为,则. 3. 用空间向量的方法求平面与平面的夹角:若平面,平面的法向量分别是和,则平面与平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为,则. 典例精析 【例1】[2021·上海市洋泾中学高二月考]如图,在正三棱柱中,的中点.求异面直线所成角的余弦值. 典例精析 【解】 如图,在正三棱柱的中点分别为连接.以为原点,所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系.因为所以因为的中点,所以,从而=,=(0,2,2),故|cos<,>|===.因此,异面直线所成角的余弦值为. 典例精析 【方法规律】 运用空间向量的方法求两条异面直线所成的角的一般思路: (1) 如果题目条件中两条异面直线有已知的方向向量,那么就直接用公式进行求解; (2) 如果题目条件中没有两条异面直线的方向向量,那么我们就按照下列步骤进行求解: ① 建立适当的空间直角坐标系; ② 分别在两条异面直线上任取两个点,根据条件中的数量关系,写出相应点的坐标,用向量的运算求出直线的方向向量,将空间所成角问题转化为向量问题; ③ 求出两方向向量夹角的余弦值; ④ 如果方向向量夹角的余弦值为正,那么这个余弦值就是两条异面直线所成角的余弦值,如果方向向量夹角的余弦值为负,那么两条异面直线所成角的余弦值就是两方向向量夹角的余弦值的绝对值. 典例精析 【变式训练1】如图,在三棱锥中,已知为的中点,,的中点.求异面直线所成角的余弦值. 典例精析 【解】 连接所以平面,所以两两垂直.以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,则,所以,于是有cos<,>==-.所以异面直线所成角的余弦值为. 典例精析 【例2】[2022·河北省廊坊市固安县第一中学高二月考]如图,在四棱锥中,.求直线所成角的正弦值. 【思路点拨】由,可以所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量与平面的一个法向量,与的夹角的余弦值的绝对值即为所求. 典例精析 【解】以为坐标原点,所在的直线为轴、所在的直线为轴、所在直线为轴,建立如图空间直角坐标系,则则 =(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).设为平面的法向量,则即不妨令可得.因此有==.所以直线所成角的正弦值为. 典例精析 【方法规律】 运用空间向量的方法求直线与平面所成的角的一般思路: (1) 如果题目条件中有直线的方向向量和平面的法向量,那么直接用公式进行求解; (2) 如果题目条件中没有直线的方向向量和平面的法