专题15 与旋转有关的规律探究问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

2023-2024学年九年级数学上册重难点突破 专题15 与旋转有关的规律探究问题 如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，可得点，，在第二象限，，，，推出，可得结论． 【详解】解：在平面直角坐标系中，，，绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形． 第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第二次变化后得列等腰三角形，点的对应点为，； ∴； 第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为； ∴； …… 由图可知： 绕点每次顺时针旋转，并且腰长增加1， ∴旋转三次完成一周，故点，，，……在第三象限， ，，，…… ，， ∴， ∴点到轴距离为，到轴距离为 ，， 故选：D． 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，以此规律继续进行下去，得到正方形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出，再按规律进行求解，找出次循环一周坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ， ， ，，，， 由题意得：每4次循环一周， ， 点与在同一个象限内， 点． 故答案为：． 如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形变换成三角形，第二次将三角形变换成三角形，第三次将三角形变换成三角形，已知，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形，找出规律，按这些变换规律将三角形变换成三角形，求和的坐标； （2）若按第（1）题的规律将三角形进行了次变换，得到三角形，请推测和的坐标． 【答案】（1），；（2）， 【分析】(1)据图形，A4的横坐标是A3的横坐标的2倍，纵坐标相同，B4横坐标是B3的2倍，纵坐标是0； (2)由（1）知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，即可写出An、Bn的坐标． 【详解】（1），它们的纵坐标都是3， 而横坐标依次为． 因此，，即 ，它们的纵坐标都是0， 而横坐标依次是， 因此，，即； （2）由上题规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1． 所以An（2n，3），Bn（2n+1，0）． 故答案分别为，． 一、单选题 1．已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，OA1＝OB1，∠A1OB1＝120°，将ΔA1OB1绕点O顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形A2OB2，点A1（1，0）的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形A3OB3，点A2的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形A4OB4，点A3的对应点为A4（4，0）⋯⋯依此规律，则第2022个等腰三角形中，点B2022的坐标是（　　） A．（2022，0） B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，再将绕原点顺时针旋转，旋转后的对应点是，，按此规律继续下去，的坐标是（   ） A． B． C． D．， 4．在平面直角坐标系中有三个点､､，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点A在第一象限，点C的坐标为（1，0），△AOC是等边三角形，现把△AOC按如下规律进行旋转：第1次旋转，把△AOC绕点C按顺时针方向旋转120°后得到△A1O1C，点A1、O1分别是点A、O的对应点，第2次旋转，把△A1O1C绕着点A1按顺时针方向旋转120°后得到△A1O2C1，点O2、C1分别是点O1、C的对应点，第3次旋转，把△A1O2C1绕着点O2按顺时针方向旋转120°后得到△A2O2C2，点A2、C2分别是点A1、C1的对应点，……，依此规律，第6次旋转，把△A3O4C3绕着点O4按顺时针方向旋转120°后得到△A4O4C4，点A4、C4分别是点A3、C3的对应点，则点A4的坐标是（　　） A．（，） B．