专题14 旋转作图问题-2023-2024学年九年级数学上册同步配套教学讲义与重难点突破（人教版）

2023-2024学年九年级数学上册重难点突破 专题14 旋转作图问题 如图，点P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，将绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q． (1)请画出（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求的最小值． 【分析】（1）以点与点为圆心，以长为半径画弧，交于点 ，同理，以点 与点 为圆心，以 长为半径画弧，交于点 ，连接，， ，则 为所求三角形； （2）过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD，由题可知，即可证得是等边三角形，根据是等边三角形，即可得到、的长，继而根据勾股定理求得、的长，于是根据由两点之间，线段最短可得，故当C，P，Q，D四点共线时，即可得到的最小值． 【详解】（1）解： 如图所示，即为所求作的三角形． （2）解：过点D作BC的垂线，垂足为E，连接PQ，CD， ∴． ∵绕点B逆时针旋转60°得到，其中点P的对应点是Q， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，∴， ∴，∴． 在中，． 在中，． 由两点之间，线段最短可得， 当且仅当C，P，Q，D四点共线时，等号成立， ∴，即， ∴的最小值是． （1）画图：图①为正方形网格，画出绕点顺时针旋转后的图形． （2）尺规作图：在图②中作出四边形关于点对称的图形（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）． 【分析】（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF，顺次连接即可； （2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO，顺次连接即可． 【详解】解：（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF， 顺次连结DE，EF，FD， 如图①，则为所求； （2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO， 顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A， 如图②，四边形为所求． 1．如图，是由通过一次旋转得到的，请用直尺和圆规画出旋转中心．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝6，PB＝2，PC＝4，以C为中心，把△APC逆时针旋转90°后，得到点P的对应点P′． （1）用尺规作图画出△APC旋转后的图形．（不写作法，保留作图痕迹，并写出旋转后图形名称） （2）求PP′的长． 3．如图，在中，． (1)尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的长． 4．如图，在中，． (1)尺规作图：作关于点成中心对称的图形（不写作法，保留作图㾗迹）； (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，请直接写出点到边的距离． 5．如图，在中，，，点在上． (1)尺规作图：把绕点逆时针旋转得到，求作点的对应点；（不写过程，保留作图痕迹） (2)若，求点到直线的距离． 6．在中，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，记点B，C的对应点分别为D，E． (1)若和线段如图所示，请在图中作出（要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)M是的中点，N是点M旋转后的对应点，连接，，，则是否存在β与α的某种数量关系，使得无论α取何值时，都有？若存在，请说明理由，并直接写出此时与的数量关系；若不存在，也请说明理由． 7．如图，已知，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应． (1)作出尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)若，，求的面积． 8．如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按要求画图．（仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角，保留作图痕迹） (1)在图1中，找一格点，使四边形是中心对称图形，并补全该四边形； (2)在图2中，在上作点，使得． 9．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°的△A′B′C，并直接写出点A在旋转过程中所经过的路径长（结果保留）； （2）在（1）的条件下，利用尺规作图画出△A′B′C的外接圆⊙P． 10．如图，如果图中每个小正方形的边长为一个单位长度，利用网格线作图并填空： (1)作出向右平移6个单位长度再向下平移2个单位长度以后的； (2)画出关于原点对称的； (3)写出和的坐标：　 　，　 　． 11．在正方形中，点是直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转90°，得到线段，连接． (1)如图1，若点在线段的延长线上，过点作交于点，交对角线于点，连接． ①请根据题意补全图形（不需要用尺规作图）； ②若，求的度数； ③求证：. (2)若点在延长线上，直