第4章 4.4 数学归纳法-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册人教A版（课时作业）

色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课后案学业评价·层级训练 /夯基陆·提技能·素养达成 [必备知识基础巩固 1.下面四个判断中，正确的是() A.式子1+k+2++(n∈N*),当n=1时，原式=1 B.式子1+k+2+…+-(n∈N,当n=1时，原式=1+k C.式子1+12+13++12n+1(n∈N,当n=1时，原式=11+12+13 D.设m)=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N),则k+1)=f+13k+2+13k+3+ 13k+4 解析A,当n=1时，原式=1十k,错误：B.当n=1时，原式=1，错误：C当n=1 时，原式=11+12+13，正确：Dk+1)=9+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1,错误. 故选C 答案C 2.设S=1k十1十1k+2+1k+3+…十12k,则S+1为() A.S+12k+2 B.S+12k+1+12k+2 C.S+12k+1-12k+2 D.S+12k+2-12k+1 解析因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S=1k+1十1k十2十+12k,① 得S+1=1k+2+1k+3+…+12+12k+1+12k+1.② 由②-①，得S+1-S=12k+1+12k+1-1k+1 =12k+1-12k+1, 故S+1=S+12k+1-12k+1 答案C 3.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+十12n一1(n≥2，n∈N的过程中，由 n=k到n=k十1时，左边增加了() A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2项 解析增加项为12k+12k+1+12k+2+…+12k+1-1,共2项. 答案D 4.对于不等式n2+n<n+1n∈N),某学生的证明过程如下： (1)当n=1时，12+1<1+1，不等式成立. (2)假设n=k∈N)时，不等式成立，即k2十k<k十1，则n=k十1时，k十12十 k+1=k2+3k+2k2+3k+2+k+2=k+22=(k+1)+1, .当n=k十1时，不等式成立，上述证法( A.过程全都正确 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k十1的推理不正确 解析n=1的验证及归纳假设都正确，但从n=k到n=k十1的推理中没有使用归纳假 设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故应选D 答案D 5.设fn)=1+12+13+…+13n-1(n∈N*,那么n+1)-fm)等于 解析n+1)-m)=13n+13n+1+13n+2. 答案13n+13n+1+13n+2 6.用数学归纳法证明不等式2>(n十1)n∈N)时，初始值na应等于 解析由题意，当n=1时，21(1+1)2：当n=2时，22<(2十1)2：当n=3时，23<(3+ 1)2:当n=4时，24<(4+1)2：当n=5时，25<(5+1)2：当n=6时，26(6+1)2，所以用数学 归纳法证明不等式2>(0n十1)2n∈N时，初始值应等于6 答案6 7.用数学归纳法证明122+132+…+1n+12>12一1n+2.假设n=k时，不等式 成立，则当=k十1时，应推证的目标不等式是 解析观察不等式左边的分母可知，后一项比前一项多1，因此由n=k到n=k十1左 边多出了1k十22这一项. 答案122+132+.+1k十12+1k十22>12-1k+3 8.用数学归纳法证明：1+3十+(21一1)=n2(n∈N. 证明(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立. (2)假设当n=k≥1)时，等式成立， 即1+3++(2k-1)=2, 那么，当n=k+1时，1+3++(2k-1)+[2(k+1)-1]=2+[2(k+1)-1]=2+2k+1 =(k+1)2 这就是说，当n=k十1时等式成立。 根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立. [关键能力综合提升] 9.凸n边形有fm条对角线，则凸n十1边形对角线的条数n十1)为() A.m)+n+1 B.n)十n C.n)+n-1 D.An)+n-2 解析增加一个顶点，就增加n十1一3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故 n+1)=n)+1+n+1-3=n+n-1.故应选C. 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案C 10.(多选题)设x)是定义在正整数集上的函数，且x)满足：“当f≥k2成立时，总 可推出化+1)≥(k十1)2成立”，那么下列命题不成立的是( ) A.若3)≥9成立，则当k≥1时，均有≥2成立 B.若5)≥25成立，则当k