第2章 2.5.2 圆与圆的位置关系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（课时作业）

[必备知识·基础巩固]

1．圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和圆(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是(　　)

A．相切  B.内含

C．相交  D.外离

解析　因为两圆的圆心距d＝＝10<12－1＝11.所以两圆内含．

答案　B

2．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　)

A．E＝－4，F＝8  B.E＝4，F＝－8

C．E＝－4，F＝－8  D.E＝4，F＝8

解析　由题意联立两圆方程Error!得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8.故选C.

答案　C

3．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是(　　)

A．1  B.2

C．3  D.4

解析　两圆的圆心距d＝＝，半径r1＝1，r2＝4，所以d>r1＋r2，所以两圆相离，故有4条公切线，故选D.

答案　D

4．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　)

A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0

B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0

C．公共弦AB的长为

D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为＋1

解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；

对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，

即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；

对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，

半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确；

对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．

答案　ABD

5．已知圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10与圆C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝50交于A，B两点，则AB所在的直线方程是________________．

解析　两圆方程相减可得

－16x－32－8y－8＝－40，整理得2x＋y＝0.

答案　2x＋y＝0

6．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则实数m＝________，c＝________.

解析　由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，且kAB＝＝－1，即m＝5，又点在该直线上，所以－1＋c＝0，所以c＝－2.

答案　5　－2

7．已知点P(2，－2)和圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝16，则P在圆C________(填“内”“外”或“上”)；以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为________．

解析　由题知C(－1,2)，圆C的半径为4，所以|PC|＝＝5>4，所以P在圆C外．设以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2，r>0，则|PC|＋4＝r，即r＝9，所以以P为圆心且和圆C内切的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝81.

答案　外　(x－2)2＋(y＋2)2＝81

8．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2,3)，(1,4)的圆的方程．

解析　公共弦所在直线的斜率为，已知圆的圆心坐标为，故两圆圆心所在直线的方程为y－＝－x，即3x＋2y－7＝0.

设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.

由Error!

解得Error!

所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0.

[关键能力·综合提升]

9．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为(　　)

A．4  B.4

C．8  D.8

解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，

∴两圆圆心均在第一象限且横坐标、纵坐标相等．

设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，

则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，

即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，

整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，

∴|C1C2|＝＝＝8.

答案　C

10．若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，且过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为(　　)

A．y2－2x＋2y＋8＝0

B．y2＋2x－2y＋8＝0

C．y2＋4x－4y＋8＝0

D．y2－4x＋4y＋8＝0

解析　因为圆x2＋y2＝1的圆心关于直线y＝x－1的对称点是(1，－1)，由题知它是圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心，所以a＝2.设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|，即y2＋4x－4y＋8＝0.