第2章 轴对称图形（知识清单+典型例题与变式练习）-【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（苏科版）

第2章 轴对称图形（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 考点一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 　　定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【例1】山东省第二十五届运动会将于2022年8月25日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题．在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，与关于直线对称，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 解：与关于直线对称， ≌， ， ， ． 【变式2】如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与 △ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C； 【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个． 【例2】如图所示，∠AOB内有一点P，，分别是点P关于OA，OB的对称点，交OA于点M，交OB于点N，若，求△PMN的周长． 【答案】5cm 解：∵P与关于OA对称， ∴OA为线段的垂直平分线， ∴， 同理，P与关于OB对称， ∴OB为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长为5cm． 【变式】如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上． 证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB， ∴∠BCE=∠EBC， ∴BE=CE， ∴点E在BC的垂直平分线上． 【例3】如图所示，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短． 解：如图． 作点P关于OA、OB的对称点P''、P'，连接P'P''， 分别交OA、OB于点N、M，即M、N为所求． 此时△PMN的周长为PM+PN+MN＝P''N+MN+P'M≥P'P''， 即最小值为P'P''的长度． 【变式】 如图，在所给的平面直角坐标系中，正方形网格单位长是1，△ABC的顶点都在格点上． (1)已知A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（﹣3，2），作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C，并写出点A'，B'，C′的坐标． (2)在y轴上向出点P，使PA+PC最小． (3)在（1）的条件，在y轴上画出点M，使|MB'﹣MC′|最大． 【答案】(1)图见分析，A'（5，0），B'（1，0），C′（3，2）．(2)见分析(3)见分析 （1）解：如图，△A'B'C，A'（5，0），B'（1，0），C′（3，2）． （2）如图，点P即为所求； （3）点M即为所求． 考点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图