重难点02：椭圆中的定点、定值、定直线问题-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册)

学科网 学种闪票创，让学司更容易！ O JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 重难点02：椭圆中的定点、定值、定直线问题 考点01：椭圆中直线过定点问题 1.(2020全国：统考高考真题)已知4、B分别为椭圆E:+2=】(>1)的左、右顶点，G为E的上顶一 点，AGGB=8,P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程： (2)证明：直线CD过定点， 【答案】(1)亡+y=1:(2)证明详见解析。 【分析】(1)由已知可得：A-a,0),B(a,0),G0,1),即可求得AG.GB=a'-1,结合己知即可求得： a2=9,问题得解 (2)方法一：设P(6,,),可得直线AP的方程为：y=之(x+3),联立直线AP的方程与椭圆方程即可求 得点C的坐标为 -3y。2+276y 2+9’。2+9 同理可得点D的坐标为 32-3-2y 。2+1’。2+1 当y后≠3时，可表示出直 线CD的方程， 整理直线CD的方程可得：y 4y% 3 33- 即可知直线过定点 ,当后=3时，直 线CD:x=3 3 直线过点 .0 命题得证 【详解】(1)依据题意作出如下图象： x=6 由椭圆方程E:x +y=1a>)可得：4-a0),8(a.0,G0,l AG=(a,1),GB=(a,-1) :AG.GB=a2-1=8,&a2=9 :椭酸方程为：号广1 (2)【方法一小：设而求点法 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 证明：设P(6,y。, 则直线P的方程为：产+引，单：y=红+3到 9 x +y2=1 9 联立直线AP的方程与椭圆方程可得： 整理得： (2+列r+6%x+9%2-81=0,解得：=-3或x=3+2 y2+9 将x=-32+27 2+9 代入直线y=x+3到可得：y=6。 9 %2+9 所以点C的坐标为 -3y2+276m W+902+9 同理可得：点D的坐标为 3y2-3-2y %2+1',2+1 当y乃≠3时 6 -2y :直线CD的方程为： -2y% y。2+9(2+1 3y2-3 2+1 -3y2+273y2-3 2+1 2+9 %2+1 整可得：y+之务+-引 2+16(9- 2+1 4yo 整理得：y= 2y。 -3 所以直线cD过定点号0 当y后=3时，直线CD:x= 直线过点 故直线c过定应（侵0 [方法】【最优解】：数形结合 设P6,),则直线PA的方程为y=g+3),即r-9y+3=0. 同理，可求直线PB的方程为-3y-31=0. ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ O JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 则经过直线PA和直线PB的方程可写为(：-9y+31)(r-3y-3)=0 可化为2(x2-9+27y2-12y+18y=0,④ 易知A,B,C,D四个点满足上述方程，同时A,B,C,D又在椭圆上，则有x2-9=-9y2,代入④式可得 27-912）y2-12y+18y=0. 故y[（27-97)y-12r+181]=0,可得y=0或(27-9)y-12x+181=0. 其中y=0表示直线AB,则(27-92)y-12r+18t=0表示直线CD. 3 令10，得x=2 即直线CD恒过点 【整体点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力， 属于难愿 第二问的方法一最直接，但对运算能力要求严格：方法二曲线系的应用更多的体现了几何与代数结合的思 想，二次曲线系的应用使得计算更为简单 22019北京：商考真题〉已知树顾C:号+茶-=1的右焦点为0.且经过点0》. (【)求椭圆C的方程： (Ⅱ)设O为原点，直线：y=x+(t≠±)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直 线AQ与x轴交于点N,若IOM小ION=2,求证：直线1经过定点. 【答案】1)舌P1 ()见解析 【分析】(1)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程： (Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直 线恒过定点 【详解】(1)因为椭圆的右焦点为(，0，所以 251 因为椭圈经过点40,1)，所以6=1，所以a=b+c2=2,故椭圆的方程为。+y=1。 2 (1Ⅱ)设P(x,),Q(2,yz) 联立 +少=1得0+2k)x2+4k+2r2-2=0, 2 y=红+t≠) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学科网 学种闪票创，让学司更容易！ O JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 △>0，x+x2= 1+25