专题12.1 分式和分式方程（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（冀教版）

专题12.1 分式和分式方程（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】分式的概念 一般地，用表示两个整式，就可以表示成的形式，如果中含有字母，式子就叫做分式.其中，叫做分式的分子，叫做分式的分母. 【知识点2】分式有意义、无意义的条件 分式有意义的条件：分式的分母不等于；分式无意义的条件：分式的分母等于. 【知识点3】分式值为零的条件： 当分式的分子等于且分母不等于时，分式的值为. 【知识点4】分式的基本性质 （1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. （2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 【知识点5】与分式的基本性质和分式运算的相关概念 （1）最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. （2）约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. （3）通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 【知识点6】分式的运算法则 【知识点7】分式的混合运算 （1） 有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律； （2） 分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。 【知识点8】分式方程的基本概念 定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 【知识点9】分式方程的解法 1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。 方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。 2、解分式方程的一般步骤： （1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。 3、分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。 【知识点10】分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤如下： （1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量； （2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种； （3）找出题目中的等量关系，写出等式； （4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程； （5）解方程。求出未知数的值； （6）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。 【考点一】分式的基本性质➼➸分式有意义、无意义、分式的值为0 【例1】（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）已知关于的分式，求下列问题： （1）当满足什么条件，分式无意义； （2）当满足什么条件，分式有意义； （3）当满足什么条件，分式的值等于0． 【答案】（1）或；（2）且；（3） 【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可； （2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可； （3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可． （1）解：由题可得， 解得：或， ∴当或时，分式无意义； （2）解：由题可得， 解得：且， ∴当且时，分式有意义； （3）解：由题可得， 解得， ∴当时，分式的值等于0． 【点拨】本题考查分式有意义，无意义，值为0时的条件，掌握分式值为0时分子为零而分母不为零的条件是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·浙江·七年级专题练习）下列结论中，正确的是（    ） A．为任何实数时，分式总有意义 B．当时，分式的值为0 C．和的最简公分母是 D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质，逐一进行判断即可． 解：A．当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； B．当时，分式的值为零，当时，分式没有意义，选项错误，不符合题意； C．和的最简公分母是，选项错误，不符合题意； D．将分式中的，的值都变为原来的10倍，分式的值不变，选项正确，符合题意； 故选D． 【点拨】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零，分式的基本性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式2】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学