专题3.1 函数的概念及其表示（讲+练，10大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题3.1 函数的概念及其表示 知识点一 函数的概念 1.定义：设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2..x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.值域是集合B的子集. 知识点二 区间的概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 3.特别提醒：(1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点． (2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆． (3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号． 知识点三 函数的表示方法 （1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式. （2）图象法：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数定义域A的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合（点集）为，所有这些点组成的图形就是函数的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法. （3）列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法. 特别提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]． 知识点四四 分段函数 分段函数;若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 考点01 函数的概念 【典例1】（2023秋·全国·高一专题练习）下列与函数是同一个函数的是（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）下列图象中，不是函数图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【规律方法】 1.函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． 2.由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点. 3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 考点02 已知函数解析式，求其定义域 【典例3】（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数的定义域为（    ） A． B． C．且 D．且 【典例4】（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.已知函数解析式，求其定义域方法： （1）函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. （2）若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． （3）复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．求函数定义域应注意的问题 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； (2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　　 考点03 求抽象函数的定义域 【典例5】（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【典例6】（2023秋·高一课时练习）设函数的定义域是，求函数的定义域． 【规律方法】 抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求