第11章 三角形——凹四边形常用性质解题攻略 2023—2024学年人教版数学八年级上册

凹四边形常用性质解题攻略 滑县焦虎镇第一初级中学 张轩波      你喜欢的数学，我恰好有。是一乐事。      在初中数学人教版八年级上册第十一章三角形一章中，11.1.2三角形的高、中线与角平分线（第4页）和11.3.1多边形（第19页），我们经常会遇到一类题目：凹四边形性质的应用。什么是凹四边形呢？如下图：       我们平常所说的图形一般是指凸四边形。       所谓凸多边形，就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其他各边均在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。　              把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一直线，如果多边形的所有边中只要有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形。上图就是凹四边形ABPC，凹多边形有一个或多个内角大于180度。                   凸多边形                                               凹多边形       在人教版数学八年级上册第十一章三角形的题目中，有很多涉及凹四边形的题目，用到凹四边形的性质。凹四边形的性质是：在凹四边形ABPC 中，               ∠BPC=∠A+∠B+∠C 证明如下： 证明一：      我们知道，四边形的内角和是360º，而凹四边形ABPC中，以P为顶点的内角（大于180º的那个角），加上∠BPC等于360º。所以∠BPC=∠A+∠B+∠C 证明二：连接AP并延长至D ∵          ∠BPD=∠B+∠BAP           ∠CPD=∠C+∠CAP  (三角形外角性质) ∴       ∠BPC=∠BAC+∠B+∠C . 性质推广： 1.如图， BD平分∠ABC,  CE平分∠ACB。BD、CE交于点P.则：               ∠BPC=½∠A+90º 证明：在凹四边形ABPC中，       ∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP      ∵BD平分∠ABC,  CE平分∠ACB    ∴∠ABP=½∠ABC    ,       ∠ACP=½∠ACB.    ∴∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP               =∠BAC+½∠ABC+½∠ACB              =½∠BAC+(½∠BAC+½∠ABC+½∠ACB)           ∴   ∠BPC=½∠A+90º 2.如图， △ABC中，CE⊥AB，垂足为E,  BD⊥AC，垂足为D.   BD和CE交于点P, 则：∠BPC+∠A=180º 证明一：∵CE⊥AB,  BD⊥AC             ∴∠AEC=90º              ∠ADB=90º            ∵四边形AEPD内角和等于360º            ∴∠A+∠AEP+∠EPD+∠PDA=360º             ∴∠A+90º+∠EPD+90º=360º              ∴ ∠A+∠EPD=180º 即       ∠A+∠BPC=180º 证明二： ∵在凹四边形ABPC中  ∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP 又∵在直角△ABD和直角△ACE中 ∠A+∠ABP=90º ∠A+∠ACP=90º ∴∠A+∠BPC=∠A+∠ABP+∠A+∠ACP                   =90º+90º                   =180º 学以致用       1. 如图，已知△ABC 中，∠A=60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点F，∠FBC、∠FCB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为　      　． 2．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数． 3．如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D． 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数 4.五角星ABCDE中，求证：           ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180º 提示：凹四边形ACPD中，∠CPD=∠C+∠A+∠D;         △BPE中，∠B+∠E+∠BPE=180º       ∠CPD=∠BPE. 课本习题 1.人教版八年级数学上册第17页第8题 2.人教版八年级数学上册第17页第9题 3.人教版八年级数学上册第29页第11题 $$