2.4圆的方程（四大题型）-2023-2024学年高二数学同步教学课件+练习（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4圆的方程 题型汇总 题型1：圆的标准方程 例1.1．写出下列圆的标准方程. （1）圆心为，半径是； （2）圆心为，且经过点． 【变式1-1】与轴相交于､两点，且半径等于的圆的方程是 . 【变式1-2】已知圆过点，． (1)求圆心所在直线的方程； (2)求周长最小的圆的标准方程； (3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程； (4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程． 【变式1-3】已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线，求此圆的标准方程． 【变式1-4】根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2：点与圆的位置关系 例2.判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆的位置关系． 【变式2-1】已知圆的方程是，则点（    ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【变式2-2】若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型3：圆的一般方程 例3.列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径． (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】已知函数与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C，求外接圆的方程． 【变式3-2】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 题型4：求圆的一般方程 例4.已知，则的外接圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】圆心在直线上的圆与轴交于，两点，则圆的一般方程为 . 【变式4-2】已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线． （1）求直线的方程； （2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4圆的方程 题型汇总 题型1：圆的标准方程 例1.1．写出下列圆的标准方程. （1）圆心为，半径是； （2）圆心为，且经过点． 【答案】（1）（x+3）2+（y﹣4）2＝5．（2）（x+8）2+（y﹣3）2＝25． 【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程． 【详解】解：（1）∵圆心在C（﹣3，4），半径长是，故圆的标准方程为（x+3）2+（y﹣4）2＝5． （2）∵圆心在C（﹣8，3），且经过点M（﹣5，﹣1），故半径为MC5， 故圆的标准方程为 （x+8）2+（y﹣3）2＝25． 【变式1-1】与轴相交于､两点，且半径等于的圆的方程是 . 【答案】或 【分析】圆上任意两点的垂直平分线过圆心，可得圆心，再用解出，可得圆的方程. 【详解】设圆心，由于圆过､两点，所以，又，则有， 解得，所以圆的方程为或. 故答案为：或. 【变式1-2】已知圆过点，． (1)求圆心所在直线的方程； (2)求周长最小的圆的标准方程； (3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程； (4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程． 【分析】（1）利用已知条件求出直线的垂直平分线所在的直线方程即可； （2）利用已知条件求出线段AB为圆的直径的圆的方程即可； （3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，且圆心在直线上，即可求解圆的方程； （4）由（1）可知，圆心所在直线的方程为，即可求出圆心的横坐标，即可求解圆的方程. 【详解】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是， ∵直线AB的斜率，且圆心在线段AB的垂直平分线上， ∴圆心所在直线的方程为，即x－3y＋3＝0． （2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为．则所求圆的标准方程为． （3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为， 又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是（3，2），∴半径， ∴所求圆的标准方程是． （4）设圆心的坐标为（m，2），由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3， ∴圆的半径，∴所求圆的标准方程为． 【变式1-3】已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线，求此圆的标准方程． 分析：设圆心C的坐标为．由已知条件可知，，且．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段是圆的一条弦，根据平面几何知识，的中点与圆心C的连线垂直于，由此可得到另一种解法． 解法1：设圆心C的坐标为．